Dung lượng và dạng đại số của các ánh xạ đa trị giải tích

Trong bài viết này, kết quả đầu tiên mà các tác giẩ muốn giới thiệu (định lý 3) là sự tổng quát hóa một định lý của Aupetit về mối quan hệ giữa các ánh xạ đa trị giải tích và dung lượng các ảnh của nó. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dung lượng và dạng đại số của các ánh xạ đa trị giải tíchTẠPCHÍKHOAHỌC,ĐạihọcHuế,Số22,2004 DUNGLƯỢNGVÀDẠNGĐẠISỐ CỦACÁCÁNHXẠĐATRỊGIẢITÍCH BànhĐứcDũng TrườngĐạihọcGiaothôngVậntảitp.HồChíMinh Kháiniệmánhxạ đatrị giảitíchlầnđầutiênđượcđưarabởiOkavàonăm1934khitổngquáthóamộtđịnhlýcủaHartogs.Sauđó,NishinovàYamaguchiđã đưaranhữngphépchứngminhvề cáckếtquả củaOkavàmở rộngchúng.Năm 1981,trongmộthoàncảnhkhác,SlodkowskiđãnghiêncứucácánhxạđatrịgiảitíchvàdùngcáctínhchấtcủachúngđểgiảiquyếtcácvấnđềtrongđạisốBanachvàđạisốđều,đồngthờiôngcũngđưaramộtsố đặctrưngmớichocácánhxạ đatrị giảitíchvàtổngquáthóachotrườnghợpnhiềuchiều(xem[4]). Trongbàiviếtnày,kếtquảđầutiênmàchúngtôimuốngiớithiệu(địnhlý3)là sựtổngquáthóamộtđịnhlýcủaAupetit(xem[3])vềmốiquanhệgiữacácánhxạđatrịgiảitíchvàdunglượngcácảnhcủanó.Cácánhxạđatrịhữuhạncódạng“đạisố”(cácánhxạmàảnhcủanótạimỗiđiểmlàtậpkhôngđiểmcủamộtđathứcvới hệ số thíchhợp)cũnggiảitíchvàđãđượcsử dụngnhiềukhixétcácánhxạ đatrịgiảitích(trongtrườnghợpmộtbiếnphức,xem[1]).Mộtcâuhỏiđặtralà,ngượclại,mộtánhxạ đatrị giảitíchhữuhạncóthể biểudiễnđượcdướidạng“đạisố“ haykhôngvàđiềunàycócònđúngchotrườnghợpnhiềubiếnkhông?Địnhlý4chomộtcâutrảlờikhẳngđịnhvềvấnđềnày. Trướchết,chúngtanhắclạimộtvàikíhiệucơbản. ChoXvàYlàcáckhônggianmetric.Kíhiệu P(Y)={cáctậpconcủaY}, Fc(Y)={cáctậpconcompactkhácrỗngcủaY}, Ff(Y)={cáctậpconhữuhạnkhácrỗngcủaY}. MộtánhxạS:X P(Y)cũngđượcgọilàmộtánhxạđatrị. VớiA X,B Y,tathườngviết S–1(B)={x X:S(x) B}, S(A)= {S(x):x A}, (S)={(x,y) X Y:y S(x)}(cònđượcviếtlà S). Địnhnghĩa1:AùnhxạK:X Fc(Y)đượcgọilànửaliêntụctrênnếuvớimọiUmởtrongYthìS1(U)mởtrongX. 21 Địnhnghĩa2:ChoGmởtrongCnvàK:G Fc(Ck)lànửaliêntụctrên.Kđượcgọilàgiảitíchnếuvàchỉ nếuvớimọiG’mở trongG,vớimọihàm đađiềuhòadướitrênmộtlâncậncủa K G ( K G làđồthịcủaK G’),hàm xácđịnhbởi ( )=sup{ ( ,z):z K( )}làđađiềuhòadướitrênG’. GiảsửGlàmộtmiềntrongCn,tacócácđịnhlýsauđây. Địnhlý3.ChoK:G Fc(Ck)làđatrịgiảitích.Khiđó i)hoặctậpE={ G: K( )