DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC

Tính chất: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k. Chứng minh: Xét trường hợp M chia trong đoạn AB. Ta có
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC I-Kiến thức cơ sở: 1. Qua hai điểm phân biệt chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng. 2. Hai đường thẳng phân biệt nếu có điểm chung thì có duy nhất một điểm chung. 3. Qua điểm A ở ngài đường thẳng d chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với d. Hệ quả: Cho điểm A và đường thẳng d, chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng qua A và vuông góc với d. 4. Trên tia Ox có duy nhất một điểm M sao cho OM = m (đvđd) . Tính chất: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k. Chứng minh: Xét trường hợp M chia trong đoạn AB. MA k . AB  k  MA  Ta có k 1 MB Do AB không đổi, k cho trước nên M là duy nhất. Xét trường hợp M chia ngoài đoạn AB. Chứng minh tương tự. 5. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có duy nhất một tia Oy sao cho góc xOy = m. (0°Hướng giải: Dựng trung tuyến BN cắt AM tại G thì G là trọng tâm A tam giác ABC và AG = (2/3)AM. Suy ra AG = AI, do I, G cùng nằm trên đoạn AM nên I trùng G. Vậy I là trọng N I tâm tam giác ABC. G B C M Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy hai điểm A, B, trên tia Oy lấy điểm C: góc OCA = góc ABC. Chứng minh CO là tiếp tuyến của (ABC) Hướng giải: C m O A B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa BC dựng tia Cm sao cho Cm là tiếp tuyến của (ABC). Thế thì góc ACm = góc ABC (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung), nhưng góc OCA = góc ABC (gt), suy ra góc OCA = góc ACm. Hai tia CO và Cm cùng tạo với tia CA hai góc bằng nhau nên chúng trùng nhau. Mà Cm là tiếp tuyến của (ABC) nên CO là tiếp tuyến của (ABC). Cách khác: C Kẻ đường kính CD của (ABC), thế thì góc m ABC = góc ADC = góc OCA và góc CAD O = 1v. Suy ra được góc OCD = 1v, hay CO A là tiếp tuyến của (ABC) B Nhận xét: Hiển nhiên, dùng tính duy nhất D của hình không phải là cách duy nhất để giải bài tập. 2 Bài 3: Cho tam giác ABC, trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho (DB/DC)= (AB/AC). Chứng minh AD là phân giác góc A. A Hướng giải: Dựng tia phân giác của góc A, cắt BC tại D. Ta đi chứng minh D trùng D. Do AD là phân giác góc A nên theo t/c phân B giác ta có: (DB/DC)= (AB/AC). Suy ra C D (DB/DC)= (DB/DC). D và D chia trong đoạn DC theo cùng một tỉ số nên D trùng D. ta có đpcm Bài 4: Từ điểm A bên ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Cát tuyến AEF không qua O. Chứng minh hai tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại một điểm trên BC. P=Q B F E H A O I C Hướng giải: Do cát tuyến không qua O nên các tiếp tuyến tại E, F cắt nhau tại P, Khi đó dễ thấy OP vuông góc với EF tại H. Giả sử OH cắt BC tại Q ta sẽ chứng minh P trùng Q bằng cách chứng minh QE, QF cũng là tiếp tuyến của (O). Dễ thấy OA vuông góc với BC tại I. 3 Ta cũng c/m được OH.OQ = OI.OA = OB2=OF2 Suy ra △OHF đồng dạng △OFQ ⇒ góc OFQ = 1v ⇒ QF là tiếp tuyến của (O). Tương tự QE cũng là tiếp tuyến của (O). Do P và Q cùng là giao điểm hai tiếp tuyến tại E, F nên P trùng Q, c ũng do Q thuộc BC nên P thuộc BC, ta có đpcm. Bài 5: Cho △ABC, D nằm trên cạnh BC thỏa mãn AB + CD = AC + BD. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp △ABD và △ACD tiếp xúc nhau tại một điểm trên AD. A M N B C ...