Đường tròn Apllonius và một bài toán IMO

Bài viết "Đường tròn Apllonius và một bài toán IMO" tập trung nhắc lại kiến thức và các bài toán liên quan đến Đường tròn Apllonius từ khâu vẽ hình tới giải bài toán đều dùng tới Đường tròn Apllonius. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đường tròn Apllonius và một bài toán IMO Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT BÀI TOÁN IMO Nguyễn Bá Đang Hội Toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Trước năm 2000 trong chương trình môn toán Trung học phổ thông có đưa bài toán quỹ tích Đường tròn Apllonius vào sách giáo khoa lớp 10. Hiện nay, do giảm tải nên chỉ còn các lớp Chuyên toán được học bài toán này. Những năm gần đây, trong các kỳ thi Olympiad ở rất nhiều nước đã đưa bài toán này với tính chất áp dụng. Kỳ thì IMO lần thứ 59 vừa qua có bài số 6 liên quan đến vấn đề này. Bài này được đánh giá là bài khó, hầu hết các thí sinh đều không giải được, chỉ có trên mười em làm trọn vẹn. Từ khâu vẽ hình tới giải bài toán đều dùng tới Đường tròn Apllonius. Chính vì thế tôi muốn nhắc lại kiến thức và các bài toán liên quan đến Đường tròn Apllonius trong Hội thảo này. 1 Đường tròn Apollonius Bài toán 1. Cho đoạn thẳng AB = a, k là số cho trước (0 < k < 1), M là điểm chuyển MA động trong mặt phẳng sao cho = k. Tìm quỹ tích của điểm M. MB Lời giải. = 90◦ , Theo tính chất Phần thuận: Dựng MD, ME là phân giác của ∆MAB nên DME DA EA MA DA k đường phân giác và giả thiết thì = = = k nên = suy ra DB EB MB DA + DB k+1 ak ak DA = , tương tự AE = . (1) k+1 k−1 = 90◦ , suy ra D, E cố định, DME suy ra M thuộc đường tròn đường kính DE. 59 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Phần đảo: Lấy M’ trên đường tròn đường kính DE qua B kẻ đường vuông góc DM’cắt M’D và MA tại H và K suy ra BK k M’E suy ra BK AB k − 1 BH DB ak ak 2ak 0 = = , 0 = ; DE = AE − AD = − = 2 .Từ (1) EM AE k EM DE k−1 k+1 k −1 asuy ra DB = , k+1 BH DB a k2 − 1 k−1 BH BK suy ra = = = suy ra 2 = , EM DE k + 1 2ak 2k EM EM suy ra BK = 2BH suy ra HB = HK suy ra ∆MBK là tam giác cân suy ra M’D là phân 0 0giác AM B suy ra M’E là phân giác ngoài AM B. Đây là quỹ tích cơ bản được gọi là Đường tròn Apollonius, mang tên nhà toán họcApolonius.Bài toán 2. Cho tam giác ABC không cân. Điểm M thay đổi trong tam giác thỏa mãn điềukiện ∠ AMC − ∠ ABC = ∠ AMB − ∠ ACB. 60 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Chứng minh rằng M thuộc đường tròn cố định.Lời giải. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC tam giác ADC đồng dạng với ∆AMB nên AD AC = và ∠ BAC = ∠ MAD suy ra ∆AMD và ∆ABC đồng dạng (c.g.c), suy ra AM AB∠ AMD = ∠ ABC suy ra ∠ AMC − ∠ ABC = ∠ AMB − ∠ ACB = ∠CMD Mặt khác ∠ ADC = ∠ AMB và ∠ ADM = ∠ ACB, suy ra ∠ AMB − ∠ ACB = ∠ ADC − MB CD CM∠ ADM = ∠ MDC suy ra ∠CMD = ∠CDM suy ra CD = CM suy ra = = AB AC AC BM ABsuy ra = không đổi suy ra M thuộc đường tròn Apollonius dựng trên cạnh BC CM AC ABtỷ số . ACBài toán 3 (Iran 1997). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thay đổi trêncung BC (không chứa A) của đường tròn (O). Gọi I, J là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABM, CAN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MIJ luôn đi qua điểm cốđịnh.Lời giải. Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ∆MI J, MI cắt đường tròn (O) tạiE, MJ cắt đường tròn (O) tại D suy ra EA = EB, DA = DC, mặt khác EA = EB = EIDA = DC = DJ. Xét ∆N IE và ∆N JD, ta có: ∠ NEI = ∠ NDJ (chắn cung MN) ∠EI N = ∠ DJN (cùng NE EI AEbù với ∠ N I M = ∠ N J M) suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra = = suy ra ND DJ AD AEN thuộc đường tròn Apollonius dựng trên đoạn ED với tỷ số suy ra N là giao điểm ...