Đường tròn lg

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròncó bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơnvị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọigóc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π haynhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đường tròn lgĐường tròn lgCác hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròncó bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơnvị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọigóc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π haynhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.[sửa] Dùng đại sốVòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn: x2 + y2 = 1Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn vàchiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩalà: Hàm Định nghĩa sin(θ) y cos(θ) x tan(θ) y/x cot(θ) x/y sec(θ) 1/x csc(θ) 1/yKhi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn vớichu kỳ 2π radian hay 360 độ:Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.[sửa] Dùng hình học Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho góc bất kỳtrên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB: Định Hàm Chú thích nghĩa định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ sin(θ) AC cos(θ) OC đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho tan(θ) AE cái tên tan của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là tiếp tuyến cot(θ) AF đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên secant sec(θ) OE của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là đường cắt vòng tròn csc(θ) OFversin(θ) CD versin(θ) = 1 − cos(θ)exsec(θ) DE exsec(θ) = sec(θ) − 1Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec và cotangphân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trênvòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minhbằng hình học.[sửa] Định nghĩa bằng chuỗi Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàmcủa hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùngchuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radianthực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng cóthể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng,như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảnghệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thểđược chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.Trong bảng dưới, quy ước: En là số Euler thứ n Un là số lên/xuống thứ n Định nghĩa Cụ thểHàmsin(x )cos(x )tan(x )cot(x )sec(x )csc(x )[sửa] Trên trường số phứcTrên trường số phứcTừ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo vàphần thực của hàm mũ của số ảo:Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là côngthức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồmcác điểm z = eix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ nhưcác quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực[sửa] Định nghĩa bằng phương trình vi phânCả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phânCác hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phântrên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàmduy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyếntính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phươngtrình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể đượcdùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:với điều kiện biên y(0) = 0. Xem [1] cho một chứng minh của công thức này.Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếudùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x đượctính bằng độ, k sẽ là:Lúc đó:và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này: .Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.[sửa] Các định nghĩa khácHàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể được địnhnghĩa là hàm s và c trong định lý sau:Tồn tại duy nhất cặp hàm s và c trên trường số thực thỏa mãn: s(x)2 + c(x)2 = 1 1. 2. s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) 3. c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) 0 < xc(x) < s(x) < x cho mọi ...