Giải các dạng bài tập toán A3

Tham khảo tài liệu giải các dạng bài tập toán a3, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải các dạng bài tập toán A3DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM xCâu1: (1đ) Cho hàm số z = arctg chứng minh z’’xx + z’’yy= 0 y 1 y −x 1 x x z y = . =− y 2x −2 xyZ = artag ⇒Z’X = y (1 + ( x ) 2 ) = 2 y2 x 2 1+ ( ) x 2 + y2 Nên ⇒ z xx = ( 2 2 ) x = -y. 2 2 2 = 2 2 2 y y x + y2 y x +y (x + y ) (x + y ) z (−2 y ) 2 xy −2 xy + 2 xy −x − x. = yy = ( ) y ( x 2 + y 2 ) 2 ( x 2 + y 2 ) 2 Vậy ⇒ z xx + z yy = = 0. x2 + y 2 = ( x 2 + y 2 )2 (đpcm )Câu 3: (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’x-yz’y=xZ =x + f(xy) vì f(t) khả vi ⇒∃ f’(t) = f’(xy) ⇒ z x = ( x + f ( xy ) x = 1 + ( xy ) x. f ( xy) (a);Z’Y = ( x + f ( xy )) y = 0 + ( xy) y . f ( xy ) = x. f ( xy )(b) Thay (a) và (b) ta có x.z x − y.z y = x(1 + yf ( xy )) − y ( x. f ( xy ))= x + xyf ( xy ) − xyf ( xy ) = x (đpcm) 1 1 zCâu 4: (1đ) Cho hàm số z = y f (x2-y2), với f(t) là hàm số khả vi CMR z x + z y = 2 y y y z = yf ( x 2 + y 2 ) = z x ( yf ( x − y ) x = y.( x − y ) x . f ( x − y ) = 2 xy. f ( x − y ) 2 2 2 2 2 2 2 2vàz y = ( yf ( x 2 − y 2 )) y = f ( x 2 − y 2 ) + y ( x 2 − y 2 ) y . f ( x 2 − y 2 ) = f ( x 2 − y 2 ) − 2 y 2 . f ( x 2 − y 2 ) 1 1 1 1 f (x2 + y2 )Khi đó ⇒ x .z x + y .z y = .2 xyf ( x − y ) + .( f ( x − y ) − 2 y f ( x + y )) = 2 2 2 2 2 2 2 (đpcm) x y yCâu 5: (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= x 2 + y 2 CMR z’’xx + z’’yy=0 2x x 1 r =z = ln = − ln r ,với r = x + y 2 Ta có: x = r r 2 x2 + y2 2y y 1 1 x −xr y = = r ⇒ z x = (− ln r ) / x = − .r x = − . = 2 2 x2 + y 2 r r r r x − r 2 + 2 x. .r −x −1 2r x .r r = 2 x − r (a) 2 2⇒ z xx = ( 2 ) x = 2 + x. 4 = r r r r4 r4Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức → tính tương tự ta được : 2 y2 − r 2 2 x2 − r 2 2 y 2 − r 2 2( x 2 + y 2 ) − 2r 2z yy = (b) Cộng 2 vế (a) và (b) → z xx + z yy = + = = 0 (đpcm ) r4 r4 r4 r4Câu 6: (1đ) Cho hàm số x x 1 1 x xyz = xarctg − x 2 − y 2 ⇒ z x = arctg + x. . − 2 x = arctg + 2 − 2x y y y 1 + ( x )2 y x + y2 y x x2 yKhi đó x.z x = xarctg − 2 x2 + 2 (a) y x + y2 −x 1 − x2 − x2 yz y = x.. − 2y = 2 − 2 y ⇒ y.z y = 2 − 2 y 2 (b) y 1 + ( x )2 2 x +y 2 x + y2 yCộng 2 vế của (a) và (b) ta được x − x2 y xxz x + y.z y = xarctg − 2x 2 + 2 − 2 y 2 = xarctg − 2( x 2 + y 2 ) ⇔ xz x + yz y = z − ( x 2 + y 2 ) y x + y2 yCâu 7: (1đ)u = x 2 + ...