Giải tích (cơ bản): Không gian mêtric (tt)

Tài liệu do PGS TS. Lê Hoàn Hóa biên soạn, tài liệu trình bày về lý thuyết Không gian mêtric đầy đủ và Không gian mêtric compact; mỗi phần đều kèm theo bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết. Hi vọng với tài liệu hữu ích này các bạn đang theo học cao học ngành Toán học sẽ ôn tập thật tốt. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích (cơ bản): Không gian mêtric (tt)GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS. Lê Hoàn HóaNgày 21 tháng 12 năm 2004KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt)55.1Không gian mêtric đầy đủĐịnh nghĩaCho (X, d) là không gian mêtric và (xn )n là dãy trong X.Dãy (xn )n là dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n n0 , ∀p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε.Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đềuhội tụ.Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0, 1] với mêtric d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| :t ∈ [0, 1]}. Cho (xn )n định bởi xn (t) = tn , ta có:0 nếu 0lim xn (t) =t 0cho trước, có n0 ∈ N sao cho với mọi n n0 và p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε.Do xn ∈ D, ∀n ∈ N nên dD (xn+p , xn ) = d(xn+p , xn ) < ε.Vậy, (xn )n là dãy cơ bản trong (D, dD ). Do (D, dD ) là không gian mêtric đầy đủ nên (xn )nhội tụ trong (D, dD ) và do giới hạn duy nhất nên limn→∞ xn = x ∈ D. Vậy D là tập đóng.Ngược lại, giả sử D là tập đóng. Cho (xn )n là dãy cơ bản trong (D, dD ). Do dD (xn+p , xn ) =d(xn+p , xn ), ∀n, p ∈ N nên (xn )n cũng là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ (X, d),vậy hội tụ. Đặt x = limn→∞ xn . Do D là tập đóng nên x ∈ D. Suy ra limn→∞ dD (x, xn ) =limn→∞ d(x, xn ) = 0 hay limn→∞ xn = x trong (D, dD ). Vậy (D, dD ) là không gian mêtric đầyđủ.Từ kết quả trên ta có thể thí dụ về không gian mêtric không đầy đủ. Do Rn với mêtricd(x, y) = [ n (xi − yi )2 ]1/2 là không gian mêtric đầy đủ, lấy D là một tập hợp con khác rỗng,i=1D không là tập đóng trong Rn . Khi đó không gian mêtric con (D, dD ) không là không gianmêtric đầy đủ.5.3Ánh xạ coCho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X thỏa mãn điều kiện: có hằng số 0sao cho:d(f (x), f (y)) k d(x, y), ∀x, y ∈ Xk 0 có n0 ∈ N sao cho với n n0 , p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε/2 và có k0 ∈ Nsao cho với k k0 thì d(xnk , x) < ε/2. Đặt m = max{n0 , nk0 }. Với n m, chọn k k0 sao chonk > n0 , khi đó:d(xn , x) d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε/2 + ε/2 = εVậy limn→∞ xn = x.2) Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Đặt Z = X × Y . Với z1 = (x1 , y1 ), z2 =(x2 , y2 ) ∈ Z, đặt d(z1 , z2 ) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ). Chứng minh (Z, d) là không gian mêtricđầy đủ ⇔ (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian mêtric đầy đủ.Hướng dẫn: Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy cơ bản trong Z. Do d(zn+p , zn )= dX (xn+p , xn ) + dY (yn+p , yn ), ∀n, p ∈ N nên (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong X, Y và ngượclại.Giả sử (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ. Lấy (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong X, Y .Đặt zn = (xn , yn ), n ∈ N thì (zn )n là dãy cơ bản trong Z. Do Z là không gian mêtric đầyđủ nên có z = (x, y) ∈ Z sao cho limn→∞ d(zn , z) = 0. Khi đó: limn→∞ dX (xn , x) = 0 vàlimn→∞ dY (yn , y) = 0. Vậylim xn = x trong X và lim yn = y trong Y.n→∞n→∞Như vậy, (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian mêtric đầy đủ.Ngược lại, giả sử X, Y là hai không gian mêtric đầy đủ. Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy cơbản trong Z. Khi đó, (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ nên có x ∈ X,y ∈ Y sao cho limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y. Đặt z = (x, y), ta có:lim d(z, zn ) = lim dX (x, xn ) + lim dY (y, yn ) = 0n→∞n→∞n→∞hay limn→∞ zn = z trong Z. Vậy (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ.6Không gian mêtric compact6.1Định nghĩaCho (X, d) là không gian mêtric. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn )ntrong A đều có một dãy con (xnk )k hội tụ, limk→∞ xnk = x và x ∈ A.Nếu A = X là tập compact ta nói (X, d) là không gian mêtric compact.6.2Tính chất1. Nếu (X, d) là không gian mêtric compact thì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ.2. Cho (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X. Nếu A là tập compact thì A là tập đóng.3. Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A ⊂ X. Khi đó:A là tập compact ⇔ A là tập đóng.4. Cho Rn với mêtric d(x, y) = [ni=1 (xi− yi )2 ]1/2 và A ⊂ Rn . Khi đó:A là tập compact ⇔ A là tập đóng, bị chặn.10Bài tập1) Cho (X, dX ), (Y, dY ) là không gian mêtric, Z = X × Y với mêtric d(z1 , z2 ) = dX (x1 , x2 ) +dY (y1 , y2 ), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ). Cho A ⊂ X, B ⊂ Y . Chứng minh:A × B compact trong Z ⇔ A và B là tập compact .Hướng dẫn: Giả sử A × B là tập compact. Cho (xn )n là dãy trong A, (yn )n là dãy trong B. Đặtzn = (xn , yn ), n ∈ N, là dãy trong A × B là tập compact nên có dãy con znk = (xnk , ynk ), k ∈ Nsao cho limk→∞ znk = z = (x, y) ∈ A × B. Khi đólim d(z, znk ) = lim [dX (xnk , x) + dY (ynk , y)] = 0k→∞k→∞haylim xnk = xk→∞vàlim ynk = yk→∞Vậy A, B là tập compact.Ngược lại, giả sử A, B là tập compact. Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy trong A × B. Do Alà tập compact, (xn )n là dãy trong A nên có dãy con (xnk )k thỏa limk→∞ xnk = x ∈ A. Do Blà tập compact, (ynk )k là dãy trong B nên có dãy con (ynki )i thỏa limi→∞ ynki = y ∈ B.Đặt z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó dãy con znki = xnki , ynki , i ∈ N, hội tụ, limi→∞ znki = z.Vậy, A × B là t ...