Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 1

Phần 1 cuốn sách "Phép tính vi phân và tích phân" doc GS.TS Nguyễn Văn Khuê làm chủ biên trình bày các nội dung: Tích phân Riemann, phép tính tích phân của hàm vô hướng; tính tích phân nhở nguyên hàm; ứng dụng của tích phân; tích phân suy công; dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi fourier,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 1 GS. TS. NGUYỄN VĂN KHUÊ (Chủ b iê n )PTS. CẤN VẨN TU ẤT - PTS. ĐẬU THÊ CẤPVI PHÂN «TÍCH PHÂN ( G IẢ I TÍCH 1 1 ) ,1 Tập II ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM GS.TS NGUYỄN VĂN KHUÊ (Chủ biên)PTS. CẤN VẪN TUẤT - PTS. ĐẬU THỂ CẤPPHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN (GIẢI TÍCH I VÀ II) TẬP II CHUƠNG VI PH ÉP T ÍN H T ÍC H PHÂN §1- TÍCH PHÂN RIEMANN1- K h á i niệm cơ b ả n Cho hàm f: [a,b] F, đoạn [a,b] c R, a < b; F là không gianBonach (*). Để định nghĩa tích phân của hàm f trên [a,b], ta làmnhư sau: Chia đoạn [a,b] thành nhừng đoạn nhỏ bởi các điểm tùy ý a = X < X, < x - > < . .. < X = b. o 1 2 n Mỏi phép chia như thế gọi là một phân hoạch của đoạn [a,b] vàký hiệu bỏi chữ 71. Các điểm xo, Xp xn gọi là các điểm chia. Trênmỗi đoạn chia [xk p xk] (k = 1, n), ta chọn một điểm tùy ý:4.J ^ s k ^Xị. và iập tổng. ơjr(^i>--.ỉn> = ™ = ằ f hội tụ tới I khi d(;r) -* 0, nếu với mọi số e> 0 cho trước, tòn tại số ò > 0 sao cho với mọi phân hoạch Tí mà d(jĩ ) < ỏ, và mọi Ẹk € [xk J, xk], ta cd. I k * - I II = Il S «£kH*k - * k.i> - I II 0, tồn tại ố > ọ sao chonếu71J và 7 1 Ị là hai phân hoạch của [a,b] với dÍJTj), d ( n 2 ) < á, thì. 1 1 % < £ i ’- > ụ - °n 2( I < £’ Ivới mọi điểm chọn £p..., ^p; thuộc các đoạn chia của 7 1và K2 tương ứng. Ngược lại, do F là không gian Banach, nên cũng có thể chứngminh rằng nếu ơn là họ cơ bản, thì nđ hội tụ.6 1.3. Đmỉĩ lý. Cho hàm f: [a,b -* F. Nếu hàm f khả tích trên [a,b],thì nó bị chặn trên đoạn đd. Chứng m i n h . Thật vậy, giả sử ngược lại hàm f ... khả tích nhưngkhổng bị chặn trên đoạn [a,b]. Với số £ = 1, tồn tại số ố> 0 saocho với mọi phân hoạch JI của đoạn [a,b] bởi các điểm a = Xo < X,1 < ... < Xn = bvói d(;r) < ố, ta đêu cò I a„< I . I I hàm Dirichlet D: [a,b] -* R cho bởi 1, nếu X hữu tỷ, D(x) = { 0, nếu X vô tỷ. Rỏ ràng hàm này bị chặn: 0 < D(x) nó khả tích trên đoạn đó. Chứng minh. Dựa vào nhận xét 1.2, định lý 1.6 sẽ được chứngminh nếu ta chứng minh được rằng: Với mọi số e > 0 cho trước, tồn tại số ố > 0 sao cho với haiphân hoạch bất kỳ JÎ1 và jr2 của đoạn [a,b] thỏa mãn dOr1) < ố,d(;r2) < ố sẽ kéo theo I ƠTÍ ^ I n 1^ Ơ7Ĩ ( £ n2^ II < e Vì hàm f liên tục trên đoạn [a,b], nên nò liên tục đều trên đó.Vậv với e > 0, tồn tại ố > 0 để khi I x’ - xị < ỏ, thì } II f ( x ‘) - f(x) II < 2(b - a) Giả sử 711 và 7Ĩ2 là hai phân hoạch của đoạn [a,b] thành các đoạnchia Alk, k = 1,..., n,; A2ị, j = 1,..., n2>Sao cho J d(ti 1) < ố, d(jĩ2) < ốvà e A*k, k = 1, ĩij ; | 2j G A2j, j = 1, n2là các điểm chọn tùy ý. Xét phân hoạch 7T tạo bởi 3 hợp các điểmchia c ủ a Jtl và JZ 2 và chọn £ p e ^ p’ p = n 3‘ Tầ cổ. - V < * V - ¿ 2n2> I * I - I ° n ^ l’ ’^n2 ơt3^ I ^ 7 n^ I + 3 I . + I ơ; I r ^ !>•••>£ „3^ ■ Ơ 7T1 ^ 1>>£ nl) I = I + ll: f f ( ỉ 2j) j= 1 J I A2 I - | f ( £ 3 ) I A3 J p = 1 p H I I + I V ...