Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Chúng ta xem xét trường hợp này trước,không nhất thiết bởi vì khả năng thực tế của nó, mà bởi vì nó trình bày cho chúng ta những ýtưởng cơ bản của phân tích hồi quy một cách đơn giản nhất có thể được và một số trong những ýtưởng này có thể được minh họa bằng các biểu đồ hai chiều. Hơn nữa, như chúng ta sẽ thấy,đứng về nhiều phương diện trường hợp phân tích hồi quy bội tổng quát là sự mở rộng hợp lý củatrường hợp hồi quy hai biến....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa Gi i tích m t bi n Bài 10 PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Chu i lu th a• Chu i lũy th a • Chu i Taylor và công th c Taylor• Vi phân và tích phân chu i lũy th a • Các phép toán c a chu i lũy th a 1. Chu i lu th a nh nghĩa. a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n + ∞ ∑ an x n ,Ký hi u là ó an là các s th c, x là bi n s . n=0 ∞ ∑ an x0nTa b o chu i lu th a h i t (phân kỳ) t i x0 ⇔ chu i s h i t (phân kỳ), chu i n=0 ∞ ∞∑ an x n ∑ an x0n h i t , x0 tuỳ ý ∈ ( a; b ) h i t trên kho ng (a; b) ⇔ chu i sn=0 n=0 ∞ ∑ xn = 1 + x + x2 +Ví d 1. n=0 ∞ 1 ∑ xn = 1 − x ã bi t h i t khi |x| < 1, có n=0Phân kỳ khi x ≥ 1 ∞ ∑ an x nB . h i t t i x1 ≠ 0 thì s h i t tuy t i t i nh ng x tho mãn |x| < |x1| và n u n=0nó phân kỳ t i x2 thì s phân kỳ t i x tho mãn |x| > |x2|Ch ng minh. n x n n an x = an x1 . x1 ∞ ∑ an x n n h i t nên có an x1 < 1, ∀ n ≥ NDo n=0 n x nan x < < 1 khi |x| < |x1| x1 ∞ x ∑ rn t r= , có h it x1 n=0 ∞∑ an x n h itn=0 ∞ ∑ an x2nTương t khi |x| > |x2| có phân kỳ, do ó n=0 n an x2 > 1, ∀ n ≥ N n x x n n an x = > >1 an x2 x2 x2 ∞ x ∑ rn t r= phân kỳ. có x2 n=0 i v i chu i lu th a anxn, luôn có ch m t trong các kh ng nh sau: nh lý. Chu i lu th a ch h i t t i x = 0. Chu i lu th a h i t tuy t i v i m i s th c x. T n t i m t s th c R sao cho chu i h i t tuy t i v i |x| < R và phân kỳ v i |x| > R.Khi ó s th c R ư c g i là bán kính h i t c a chu i lu th a.Nh n xét. • Quy ư c vi t R = 0 kh ng nh 1), R = +∞ kh n g nh 2), t ó có th phát bi u g n nh lý này như sau: ∞ ∑ an x n u có m t bán kính h i t R v i 0 ≤ R ≤ +∞ , khi ó chu i h iM i chu i lu th a n=0t tuy t i v i |x| < R và phân kỳ v i |x| > R. • Cách tìm bán kính h i t R: a 1 R = lim n ho c R = n→∞ a na n +1 n xn ∞ ∑ n2Ví d 1. Tìm kho ng h i t c a chu i n =1 2  n +1 an 1 1 = 2: =  2 n an+1 n ( n + 1) an =1 lim n→∞ a n +1R = 1, chu i h i t v i |x| < 1, phân kỳ v i |x| > 1. x2 ∞ 1 1 ∑ n2 = 2 , m t khácT i |x| = 1 có h i t , do ó chu i lu th a h i t t i |x| = 1. 2 n n ...