Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫunhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗikết quả của phép thử cho một số với một xácsuất nào đó.ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs có dạng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 12.3.2 Loại liên tục X �N(µ, σ2 )2.3.2.1 Phân phối chuẩn: ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếuhàm mật độ ppxs có dạng (x −µ ) 2 1 − f (x) = 2 σ2 e σ 2πtrong đó µ, σ là các tham số, σ > 0 . 2 X �N(µ, σ2 )Ký hiệu2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩni. Phân phối chuẩn đơn giản: N(0,1) T + Hàm mật độ ppxs của T: t2 1 −2 f (t) = e 2π + Với T N(0,1) thì β P[α T β] = f (t)dt = ϕ(β) − ϕ( α) α ở đây ta sử dụng ham Laplace (bảng B ởphụ lục).* Chú ý: Khi sử dụng bảng B, ta chú ý a. ϕ( − x) = −ϕ(x) b. với x>5, ϕ(x) 0,5 . Từ đây, ta có ϕ( − ) = −0,5, ϕ( + ) = 0,5VD 2.12: Cho T N(0,1) . Tính a) P[-0,25ii. Phân phối chuẩn tổng quát * Định lý: X −µ X �N(µ, σ ) � T = 2 �N(0,1) σ * Với X �N(µ, σ ) thì 2 � 2 − µ � �1 − µ � x x x2 ] = ϕ � � ϕ� − P[x1 X � �σ � �σ � VD 2.13: Trọng lượng của một loại sảnphẩm là X có pp chuẩn, = 10kg, σ = 0,25. µ 2Tính tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượngtừ 9,5 đến 11kg. VD 2.14: Chiều cao X của trẻ em có ppchuẩn N(1,3;0,01). Tính xs để trẻ em cóchiều cao trong khoảng (1,2; 1,4). 2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vectơngẫu nhiên) 2.4.1 Định nghĩa Một cặp ĐLNN được xét đồng thời (X,Y)gọi là vectơ ngẫu nhiên. VTNN chia làm hailoại: + rời rạc nếu X và Y rời rạc + liên tục nếu X và Y liên tục 2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên 2.4.2.1 Loại rời rạc * Bảng ppxs đồng thời của X và Y Y y1 y 2 ... y n PX X x1 p1 p11 p12 ... p1n p21 p22 ... p2n x2 p2 M M p m1 p m2 ... p mn xm pm q1 q 2 ... q n 1 PYpij = P[X = x i , Y = y j ], 1 i m, 1 jn m n �p � =1 ij i =1 j=1* Phân phối lề n + của X: pi = P[X = x i ] = pij , 1 i m j=1(cộng theo dòng i) X x1 x 2 ... x m P X p1 p2 ... p m m + của Y: q j = P[Y = y j ] = pij , 1 jn i =1(cộng theo cột j) Y y1 y 2 ... y n Y q1 q 2 ... qn P VD 2.15: Giả sử ppxs đồng thời của X và Y là Y 1 2 X 1 0,1 0,06 2 0,3 0,18 3 0,2 0,16Tìm pp của X và Y.* Phân phối có điều kiện + của X với điều kiện = y j Y x1 x 2 ... x m X p1/ j p2 / j ... p m / j X / yj P P[X = x i , Y = y j ]pi / j = P[X = x i / Y = y j ] = ,1 i m P[Y = y j ] + của Y với điều kiệnX = x i y1 y 2 ... y n Y q1/ i q 2 / i ... q n / i Y / xi P P[X = x i , Y = y j ]q j/ i = P[Y = y j / X = x i ] = ,1 jn P[X = x i ] * Sự độc lập: X và Y độc lập � P[X = x i , Y = y j ] = P[X = x i ].P[Y = y j ] � pij = pi q j , ∀i, j VD 2.16: Thống kê dân số của một vùngtheo 2 chỉ tiêu: giới tính X, học vấn Y, đượckết quả: Y thất học phổ thông đại học X 0 1 2 Nam: 0 0,10 0,25 0,16 Nữ: 1 0,15 0,22 0,12 a) Lập luật ppxs của học vấn, giới tính. b) Học vấn có độc lập với giới tính không? c) Lập luật ppxs học vấn của nữ.2.4.2.2 Loại liên tục:* Mật độ pp đồng thời của (X,Y) là f(x,y) với ++ f (x, y) 0, ∀x, y và � � f (x, y)dxdy = 1. −− +* Mật độ pp lềf X (x) = f (x, y)dy + của X: − + f Y (y) = f (x, y)dx + của Y: −* Mật độ pp có điều kiện + của X với điều kiện Y=y: f (x, y) f X (x / y) = f Y (y) + của Y với điều kiện X=x: f (x, y) f Y (y / x) = f X (x)* Sự độc lập X và Y độc lập� f (x, y) = f X (x).f Y (y) VD 2.17: Giả sử hàm mật độ pp đồng thời của X và Y là − ( x + y) Ae với x>0, y>0 f (x, y) = trường hợp khác 0 a) Tìm A. b) Tìm hàm mật độ của X và Y. c) X và Y có độc lập?Bài tập: 58, 62 sách Bài tập ...