Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 2

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫunhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗikết quả của phép thử cho một số với một xácsuất nào đó.Hàm mật độ của một số hàm của ĐLNN hay dùng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 2 2.4.3 Hàm của các ĐLNN: * Trường hợp 1 chiều:Y = ϕ(X) + X nhận các giá trị x1 , x 2 ,... Y nhận các giáy1 ,ịy 2 ,... tr + Xác suất P[Y = y j ] = pi ϕ( xi )= y jVD 2.18: Cho X có luật phân phối X −1 0 1 2 P X 0,1 0,2 0,3 0,4 Y = X2 Tìm luật pp của* Trường hợp 2 chiều:Z = ϕ(X, Y) + Tìm giá trị của Z tương ứng với giá trịcủa X và Y. + Xác suất P[Z = z k ] = pij ϕ ( x i ,y j ) = z kVD 2.19: Cho bảng ppxs đồng thời của X vàY. Lập luật pp cZ a 2X − Y + 1 ủ= XY 0 1 2 1 0,1 0,3 0,15 2 0,15 0,25 0,05* Hàm mật độ của một số hàm của ĐLNNhay dùng (trong thống kê) (giáo trình trang69).2.4.4 Các số đặc trưng * Mốt: Mod[X] - Với X rời rạc, Mod[X] là giá trị của Xứng với xác suất lớn nhất (hay còn gọi là giátrị tin chắc nhất). - Với X liên tục, Mod[X] là giá trị làm chohàm mật độ pp f(x) đạt giá trị lớn nhất.* Kỳ vọng toán học: M(X)- Định nghĩa n x i pi nếu X rời rạc i =1 M(X) = b xf (x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) xác a định trên [a,b]VD 2.20: Tính M(X) X −1 0 1 2 0,1 0,2 0,3 0,4 X P- Ý nghĩa: M(X) là giá trị trung bình (về mặtxác suất) của X.- Kỳ vọng của hàm một ĐLNN: Cho ĐLNN X và hàm Y = ϕ(X) + Với X rời rạc: n M(Y) = M[ϕ(X)] = ϕ(x i )p i i =1 + Với X liên tục có hàm mật độ pp f(x) + M (Y) = M[ϕ(X)] = ϕ(x)f (x)dx −VD 2.21: Cho X có luật pp 0 1 2 X 1 1 1 X P 3 6 2 M(X 3 ) Tính M(2X+1),VD 2.22: X có hàm mật độ 1, 0 < x 1 f (x) = 0, trường hợp khác 3 Tính M(X )- Tính chất: i. M(C)=C, C là hằng số ii. M(CX)=C.M(X) iii. M(X+Y)=M(X)+M(Y) iv. M(XY)=M(X).M(Y) nếu X và Y độclập (X và Y độc lập khi X và Y nhận các giátrị độc lập nhau). σ* Phương sai D(X) và độ lệch tiêu chuẩn (X)- Định nghĩa + Phương sai D(X) = M[X − M(X)] 2 + Độ lệch tiêu chuẩnσ(X) = D(X) Trong thực hành, ta thường dùng côngthức sau để tính phương sai D(X) = M(X ) − [M(X)] 2 2VD 2.23: Tính D(X) X −1 0 1 2 P X 0,1 0,2 0,3 0,4- Ý nghĩa: D(X) là thông số đo mức độ phântán của X quanh kỳ vọng. Trong kỹ thuật,D(X) đặc trưng cho độ sai số của thiết bị,trong kinh doanh nó đặc trưng cho độ rủi rocủa các quyết định.- Tính chất: i. D(C)=0, C là hằng số D(CX) = C2 .D(X) ii. iii. D(X+Y)=D(X)+D(Y) khi X, Y độc lập.2.4.5 Đặc trưng số của VTNN - Kỳ vọng của hàm một VTNN: Cho VTNN (X,Y) có ppxs đồng thời P[X = x i , Y = y j ] = pij Z = ϕ(X, Y)và hàm Kỳ vọng mn M(Z) = M[ϕ(X, Y)] = � ϕ(x i , y j )p ij �i =1 j=1 - Hiệp phương sai Cov(X, Y) = M[(X − µ1 )(Y − µ 2 )]với µ1 = M(X), µ 2 = M(Y), - Hệ số tương quan Cov(X, Y) M(XY) − M(X)M(Y) R XY = = σ(X).σ(Y) σ(X).σ(Y)* Tính chất: i. | R XY | 1 . | R XY |= 1 X và Y liên hệ tuyến tính. ii. Nếu X và Y độc lập thìR XY = 0VD 2.24: X và Y có ppxs đồng thời X 2 5 8 Y 0,4 0,15 0,3 0,35 0,8 0,05 0,12 0,03 a) Tìm ppxs của X và Y. b) Tính hệ số tương quan.2.4.6 Đặc trưng số của một số luật phân phối X H(N, N A , n) * pp siêu bội NA - Kỳ vọng M(X) = np, p = N - Phương sai N − n D(X) = npq , q =1− p N −1* pp nhị thức X B(n, p)- Mốt Mod[X]=k với k nguyên không âm thỏa np − q k np − q + 1- Kỳ vọng M(X)=np- Phương sai D(X)=npq, q=1-p VD 2.25: Xác suất bắn trúng bằng 0,7.Bắn 25 phát. Số lần có khả năng bắn trúngnhất là bao nhiêu?* pp Poisson X �P(λ ) M(X) = D(X) = λ* pp chuẩn X �N(µ, σ ) 2 - Mốt Mod[X] = µ - Kỳ vọng M[X] = µ D[X] = σ2 - Phương sai:* Bài tập: 68, 74, 80 sách Bài tập.