Giáo trình: Bất Đẳng Thức Lượng Giác

Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác sẽ đưa bạn từ những bài toán dễ chứng minh đến những bài toán gay go phức tạp, từ các kĩ thuật cổ điển đến hiện đại. Tài liệu hệ thống các kiến thức, bài tập, kĩ thuật liên quan đến bất đẳng thức lượng giác, hệ thức. Tài liệu này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có để chứng minh bất đẳng thức lượng giác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình: Bất Đẳng Thức Lượng Giác Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ --- --- GIÁO TRÌNHBẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁCTrư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s :Chương 1 CÁC BƯ C ð U CƠ S ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta không th không chu n b hành trang ñ lên ñư ng.Toán h c cũng v y. Mu n khám phá ñư c cái hay và cái ñ p c a b t ñ ng th c lư nggiác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n và h u d ng, ñó chính là chương 1: “Cácbư c ñ u cơ s ”. Chương này t ng quát nh ng ki n th c cơ b n c n có ñ ch ng minh b t ñ ng th clư ng giác. Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c này làñ y ñ cho m t cu c “hành trình”. Trư c h t là các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev…) Ti p theo là các ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan cơ b n trong tam giác. Cu i cùnglà m t s ñ nh lý khác là công c ñ c l c trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lýLargare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm tuy n tính …) M cl c: 1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………............................................ 4 1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8 1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………..... 16 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19 1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19 1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………..... 21 1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22 1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25 1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28 1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29The Inequalities Trigonometry 3Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n :1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM :V i m i s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n ta luôn có a1 + a 2 + ... + a n n ≥ a1 a 2 ...a n n B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là m t b t ñ ng th cquen thu c và có ng d ng r t r ng rãi. ðây là b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõràng nh t, nó s là công c hoàn h o cho vi c ch ng minh các b t ñ ng th c. Sau ñây làhai cách ch ng minh b t ñ ng th c này mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi chor ng là ng n g n và hay nh t.Ch ng minh : Cách 1 : Quy n p ki u Cauchy V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Khi n = 2 b t ñ ng th c tr thành a1 + a 2 ( ) 2 ≥ a1 a 2 ⇔ a1 − a 2 ≥ 0 (ñúng!) 2 Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c là : a1 + a 2 + ... + a k k ≥ a1a 2 ...a k k Ta s ch ng minh nó ñúng v i n = 2k . Th t v y ta có :(a1 + a 2 + ... + ak ) + (a k +1 + ak +2 + ... + a 2k ) (a1 + a 2 + ... + ak )(ak +1 + ak +2 + ... + a2k ) ≥ 2k k (k )( ) a1 a 2 ...a k k k a k +1 a k + 2 ...a 2 k k ≥ k = 2 k a1 a 2 ...a k a k +1 ...a 2 k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − 1 . Khi ñó :a1 + a 2 + ... + a k −1 + k −1 a1a 2 ...a k =1 ≥ k k a1 a 2 ...a k −1 k −1 a1a 2 ...a k −1 = k k −1 a1 a 2 ...a k −1⇒ a1 + a 2 + ... + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a 2 ...a k −1 Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a 2 = ... = a n Cách 2 : ( l i gi i c a Polya )The Inequalities Trigonometry 4Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng ...