Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 2

Phần 2 Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4) trình bày về đại số Hinbe đầy đủ, định lý Plăngsơreiv — Gôđơmăn, lý thuyết phổ của Hinbe... Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 2trên (lại số JiliH) (xét một toán tử compẳc V sao cho U(e )-~ n— ^n(„, trong đó các c n lập thành một r ơ sở hinbe và các. Ả,.là những số I> 0 sao cho chuỗi ^ Ã 2 hội tụ n h ư n g chuỗi n Ằn không hội l ạ ; XÓI thu họp của một vét / (giả thiẽt tồn ntại) lên (lại số các p h é p tự đồng cấu của k h ô n g gian v e c l ơcon lĩ sinh bởi các í k với chỉ số í n và sử dụng a)). 8. ĐẠI SỐ HINBE DẦY ĐỦ Trong toan d i ê m n à y , chủng ta g i ả t h i ế t rằng, đ ạ i sổhinbe A lù đây đù ( đ o do, là m ộ i k h ô n g gian hinbè) đ ố ivói chuẵn li .1: lị = (x ị .vỹ . Hon n ữ a , c h ú n g ta sẽ g i ả2thiết rằng, á n h xạ song l u y ế n (x, y)->xy ciỉa AxA vàoA là liên tục đ ố i v ớ i Chilian n à y (ta cỏ t h ề c h ứ n g tỏ( t i ế t 12.16, bài toái) 8c) r ằ n g , đ ó l à m ộ t h ệ quả củan n ữ n g giả t h i ế t k h á c ) . M ọ i đ ạ i số con đóng và t ự liênhụpBcủa A h i ề n n h i ê n cũng là m ộ t đ ạ i số hinbe đ ầ y đ ủ . (15.8.1) Giả sử b là một ỉđêan trái đóng trong A, và vớimọi í/$b ưa mọi xệ^A, iu đặt u ( x ) . . Ị} = h xg. Khỉ đó, b (cc) là một phép bữa diễn CHO đại số A trong khônggian hinbc b. T r ư ớ c hết, theo .(15.7.5.3) v ( x ) là m ộ t t o á n t ử liên btục trong b. Rỡ r à n g ta có Ư (xx) = u (x) u (x). Theo b h b(15.7.5^2) v ớ i ỉ/, Z thuộc b, ta c ó (ừ ( x ) * . y ị z) = b= (y I u (X) . r ) = (y I xz) = b Ì Z) = ( ờ V ) \ y \ z \ bdo đ ó , u ( ỉ ) * = Ư (x*); n g o à i ra, n ế u A c ó p h ầ n h b tửđ ơ n vị e thi U (e) l ủ t o á n t ử đ ò n g n h ấ t . b K h i b = A, ta v i ế t u (x) thay cho U (x) v à n ó i l ẵng, Ku là phép biêu diễn chính qui của A. Theo (15.7.5.7),174 lập biêu d i ê n nà} là trung thành (15.5). Ngoài ra do ếb l i ê n tục của (.T, y)-*XỊỉ, x-*u (x) là m ộ t á n h xạ fẽn t i n h liền tục của /4 v à o £(A). Việc n g h i ê n c ử u các đ ạ i số hinbe đầv đủ dựa v à o v i ệ c ; c á c iđêan trái cực tiêu của chứng và c á c lũy đổng ịh r a chủng. lời m ọ i i đ ê a n trái ì của Á, ta ký h i ệ u Ì* là ả n h của ì a p h é p đ ố i h ọ p s — •>- .9* ; h i ề n n h i ê n Ì* là m ộ t i đ ê a n li.15.8.2) Với mọi iđêan trái Ì của A, khủng gian con l^-strực giao của bao đóng ì của ỉ là một iđêan trải.Vì ĩ là một i đ ê a n t r á i (15.1.3) n ê n ta có t h ề h ạ n chết t r ư ờ n g họ-p k h i Ì là đ ó n g ; n ế u ỉ/ c Ì -Và z £ A, ta (zy ị x) — (í/ I :*x) = 0 v ớ i m ọ i X ^ ì b ở i vì Ì là m ộ than t r á i , t ừ đ ó , zỵ ^ Ì .[15.8.3) Giả sử c lờ mội lũy đẵng =f= 0 của A. Khi đó[ì) í e li > Ì;(ii) c* lù IÙỊỊ đằng ; . *•Hi) iđêan trái Ae là tập hợp các xệ: Ả sao cho x=xe; lá một tập hợp đủng trong A.Biêu khẳng đ ị n h t h ứ n h ấ t suy l ừ bất đ ẳ n g t h ứ c li e tin e It V ì (e^)* = c | e* = eiẽị n ê n r õ r à n g , b ) v à c ) l à t ư ơđ ư ơ n g . N ế u ( e I eầ) = 0 t h ì , t h e o (15.7.5.2) v à (16.7.5.! tta suy r a 0 = (eị ị e\ Ị = ( f t l « 2 Ie i 6 2 ) = li e l C ỉ li ,2do đ ó , a) k ẻ o theo h ) . N g ư ợ c lại, nếu = 0, t a c ó («1 I e ) = (e\ 2 Ịe ) = 2 (e t I e i c ) 2 = 0,d o đ ó , b ) k é o theo a). ( 1 5 . 8 . 5 ) Mọi iđêan trái ỉ ịoị c ủ a A đ ề u c/ỉíí-a m ộ / /đàng tự liên hơp i= 0. G i ả s ử . r ạ= 0 t r o n g Ì ; k h i đ ó , r = x * x =4= 0 (15.7.5v à 2 Jà m ộ t p h ầ n t ử t ự l i ê n h ọ p ...