Giáo trình giải tích 1 part 2

3. Các định lý cơ bản.Theo ngôn ngữ của dãy số, tập các số hữu tỉ là không “đầy đủ” vì có các dãy 1 số trong Q nhưng không hội tụ về một số thuộc Q, chẳng hạn dãy x n = (1 + )n . n Các định lý sau đây thể hiện tính đầy đủ của tập số thực R.3.1 Nguyên lý đơn điệu bị chặn.Một dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên thì hội tụ, i.e.(xn ≤ xn+1 , ∀n)&(∃M, xn
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 1 part 210Ñeå tính giôùi haïn sau, ta nhaân löôïng lieân hieäp ñeå khöû caên: √ √ √ √ √√ √ √ ( n + 2 − n + 1)( n + 2 + n + 1) √ √ lim n( n + 2 − n + 1) = lim n n+2+ n+1 n→∞ n→∞ √ √ (n + 2) − (n + 1) n = lim n √ √ = lim √ n + 2 + n + 1 n→∞ n( 1 + 2 + 1 + 1 ) n→∞ n n 1 1 = lim = n→∞ 2 1 2 1 1+ n + 1+ n (lim 1 + n + lim 1 + n ) 1 1 =√ √= 2 1+ 13. Caùc ñònh lyù cô baûn.Theo ngoân ngöõ cuûa daõy soá, taäp caùc soá höõu tæ laø khoâng “ñaày ñuû” vì coù caùc daõy 1soá trong Q nhöng khoâng hoäi tuï veà moät soá thuoäc Q, chaúng haïn daõy x n = (1 + )n . nCaùc ñònh lyù sau ñaây theå hieän tính ñaày ñuû cuûa taäp soá thöïc R.3.1 Nguyeân lyù ñôn ñieäu bò chaën.Moät daõy ñôn ñieäu khoâng giaûm vaø bò chaën treân thì hoäi tuï, i.e. (xn ≤ xn+1 , ∀n)&(∃M, xn < M, ∀n) ⇒ ∃ lim xnMoät daõy ñôn ñieäu khoâng taêng vaø bò chaën döôùi thì hoäi tuï, i.e. (xn ≥ xn+1 , ∀n)&(∃m, m < xn , ∀n) ⇒ ∃ lim xnChöùng minh: Tröôùc heát nhaän xeùt laø neáu (xn ) khoâng taêng vaø bò chaën döôùi, thì daõy khoâng giaûm vaø bò chaën treân. Vaäy chæ caàn chöùng minh cho tröôøng hôïp (x n )(−xn )khoâng giaûm vaø bò chaën treân.Do giaû thieát bò chaën treân suy ra a = sup{xn : n ∈ N} höõu haïn.Ta chöùng minh lim xn = a. Cho > 0.Theo ñònh nghóa cuûa caän treân beù nhaát: moïi xn ≤ a vaø toàn taïi xN sao cho a − < xN .Töø tính ñôn ñieäu khoâng giaûm, khi n > N , a − < x n ≤ a < a + , i.e |xn − a| < .Vaäy lim xn = a.Nhaän xeùt. Neáu (xn ) khoâng giaûm nhöng khoâng bò chaën treân, thì lim x n = +∞.Töông töï, neáu (xn ) khoâng taêng nhöng khoâng bò chaën döôùi, thì lim x n = −∞.3.2 Nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau. Cho daõy caùc ñoaïn loàng nhau In = [an , bn],sao cho In ⊃ In+1 , n ∈ N. Khi ñoù toàn taïi ñieåm chung cho moïi In , i.e. ∩n∈N In = ∅Chöùng minh: Töø gæa thieát ta coù an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn . Vaäy daõy (an ) khoânggiaûm vaø bò chaën treân coøn khoâng taêng vaø bò chaën döôùi. Theo nguyeân lyù treân toàn (b n ) 11Chöông I. Soá thöïc - Daõy soátaïi a = lim an vaø lim bn = b. Hôn nöõa, do tính baûo toaøn thöù töï, a ≤ b. Roõ raøng[a, b] ⊂ In , ∀n.3.3 Ñònh lyù Bolzano-Weierstrass. Moïi daõy bò chaën ñeàu toàn taïi daõy con hoäi tuï.Chöùng minh: Ta tìm daõy con hoäi tuï baèng phöông phaùp chia ñoâi:Gæa söû a0 ≤ xn ≤ b0 , ∀n. Chia ñoâi ñoaïn I0 = [a0 , b0 ]. Moät trong hai ñoaïn chia chöùavoâ soá soá haïng xn , goïi laø I1 . Choïn n1 , xn1 ∈ I1 . Töông töï, chia ñoâi I1 coù moät tronghai ñoaïn con chöùa voâ soá soá haïng xn , goïi laø I2 . Choïn n2 > n1 , xn2 ∈ I2 . Laëp laïi caùchlaøm treân, ta coù:a) I0 ⊃ I1 ⊃ · · · ⊃ Ik b) Ñoä daøi ñoaïn Ik laø b02ka0 c) n1 < n2 < · · · < nk vaø xnk ∈ Ik −Theo nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau toàn taïi a ∈ I k , ∀k. Ta coù |xnk − a| ≤ b02ka0 → 0, −khi k → ∞. Vaäy daõy con (xnk )k∈N hoäi tuï veà a.3.4 Tieâu chuaån Cauchy. Daõy (xn) hoäi tuï khi vaø chæ khi (xn) laø daõy Cauchy, i.e. ∀ > 0, ∃N : n, m > N ⇒ |xn − xm | 0, toàn taïi N : |xn − a| < /2,∀n > N . Vaäy vôùi m, n > N , |xn − xm | ≤ |xn − a| + |xm − a| < /2 + /2 = .(⇒) Gæa söû (xn ) laø daõy Cauchy.Daõy (xn ) laø bò chaën: vì vôùi = 1, toàn taïi N sao cho xN − 1 < xn < xN + 1, ∀n > N .Choïn M = max{|x0 |, · · · , |xN |, |xN | + 1}. Khi ñoù |xn | ≤ M, ∀n.Theo ñònh lyù Bolzano-Weierstrass, toàn taïi daõy con (x nk )k∈N hoäi tuï veà a.Ta chöùng minh daõy (xn ) hoäi tuï veà a: töø baát ñaúng thöùc |xk − a| ≤ |xk − xnk | + |xnk − a|.Do nk ≥ k, khi k → ∞, thì nk → ∞. Khi ñoù |xk − xnk | → 0, do laø daõy Cauchy; vaø|xnk − a| → 0, do daõy con hoäi tuï veà a. Vaäy lim xk = a. ...