Giáo trình giải tích 1 part 4

Chia đôi đoạn [a, b] bởi điểm t = 2 Còn 2 trường hợp: - Nếu f (t)f (a)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 1 part 4 34 y T f (b) a1 = a a2 a3 a4 0 E s s sss s b4 b1 = b x b2 b3 f (a) Chöùng minh: (1) Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû f (a) < 0 < f (b). Ta duøng phöông phaùp chia ñoâi ñeå tìm nghieäm c cuûa phöông trình f (c) = 0: a+b Chia ñoâi ñoaïn [a, b] bôûi ñieåm t = . Neáu f (t) = 0, thì c = t laø giaù trò caàn tìm. 2 Coøn 2 tröôøng hôïp: - Neáu f (t)f (a) < 0, thì ñaët a1 = a, b1 = t. - Neáu f (t)f (b) < 0, thì ñaët a1 = t, b1 = b. Khi ñoù f (a1 ) vaø f (b1 ) traùi daáu nhau. Laëp laïi caùch chia ñoâi [a1 , b1 ] nhö treân. Tieáp tuïc quaù trình naøy, thì hoaëc sau höõu haïn böôùc ta tìm ñöôïc giaù trò c maø f (c) = 0, b−a hoaëc ta coù moät daõy caùc ñoaïn loàng nhau [an , bn ], n ∈ N, maø bn − an = n vaø 2 f (an ) < 0 < f (bn ). Theo nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau toàn taïi a n < c < bn , ∀n ∈ N. Ta chöùng minh f (c) = 0. b−a Do bn − an = n → 0, khi n → ∞, neân lim an = lim bn = c. Do f lieân tuïc taïi c 2 vaø tính baûo toaøn thöù töï, neân f (c) = nlim f (an ) ≤ 0 vaø f (c) = nlim f (an ) ≥ 0. Vaäy →∞ →∞ f ( c ) = 0. (2) Xeùt F (x) = f (x) − γ . Khi ñoù F lieân tuïc treân [a, b] vaø F (a)F (b) ≤ 0. AÙp duïng (1) ta coù c sao cho F (c) = f (c) − γ = 0, i.e. f (c) = γ . Nhaän xeùt. Phöông phaùp chia ñoâi ôû chöùng minh treân cho pheùp tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa haøm lieân tuïc treân moät ñoaïn. √ Baøi taäp: Tính gaàn ñuùng 2 vôùi sai soá 10−1 , baèng caùch tìm nghieäm x2 −2 = 0 treân [1, 2]. Heä quûa. Neáu haøm f lieân tuïc treân [a, b] vaø a, b laø hai nghieäm lieân tieáp cuûa f (x) = 0, thì f khoâng ñoåi daáu treân (a, b). Heä quûa. Neáu haøm f lieân tuïc vaø ñôn ñieäu taêng (giaûm) treân [a, b], thì toàn taïi haøm ngöôïc f −1 lieân tuïc treân [f (a), f (b)] (treân [f (b), f (a)]) Chöùng minh: Roõ raøng khi f ñôn ñieäu treân [a, b], thì noù laø song aùnh töø [a, b] leân f [a, b]. Do ñònh lyù treân f [a, b] laø moät khoaûng vaø do tính ñôn ñieäu caùc ñaàu muùt cuûa khoaûng ñoù phaûi laø f (a), f (b). Nhö vaäy toàn taïi f −1 : [c, d] → [a, b]. 35 Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc Ñeå chöùng minh tính lieân tuïc cuûa f −1 taïi y0 ∈ [c, d], cho (yn ) laø daõy tieán veà y0 . Ñaët x0 = f −1 (y0 ) vaø xn = f −1 (yn ). Ta caàn chöùng minh xn → x0 . Giaû söû phaûn chöùng laø coù moät daõy con (xnk ) tieán veà x = x0 . Do f ñôn aùnh, f (x ) = f (x0 ). Maët khaùc, do f lieân tuïc f (xnk ) → f (x ). Nhöng daõy f (xnk ) = ynk → y0 = f (x0 ), maâu thuaãn. Ví duï. a) Moïi ña thöùc baäc leû ñeàu coù nghieäm (thöïc). Thaät vaäy, cho f (x) = a 0 +a1 x+· · ·+an xn , vôùi an = 0 vaø n leû. Do x→−∞ f (x) = − sign (an )∞ vaø x→+∞ f (x) = sign (an )∞, lim lim neân toàn taïi a < 0 < b sao cho f (a) vaø f (b) traùi daáu nhau. Theo ñònh lyù giaù trò trung gian toàn taïi c ∈ (a, b) ñeå f (c) = 0, i.e. c laø nghieäm cuûa f (x) = 0. b) Neáu f : [a, b] → [a, b] lieân tuïc, thì toàn taïi c : f (c) = c (ñieåm c goïi laø ñieåm baát ñoäng cuûa f ). Thaät vaäy, xeùt haøm F (x) = f (x) − x. F lieân tuïc treân [a, b] vaø F (a) = f (a) − a ≥ 0 coøn F (b) = f (b) − b ≤ 0. Theo ñònh lyù giaù trò trung gian toàn taïi c ∈ [a, b], F (c) = f (c) − c = 0, i.e. f (c) = c. 3.4 Ñònh lyù max min (Weierstrass). Neáu f laø haøm lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], thì f bò chaën vaø ñaït max vaø min treân ñoaïn ñoù, i.e. toàn taïi α, β ∈ [a, b] sao cho f (α) = max{f (x) : a ≤ x ≤ b} f (β ) = min{f (x) : a ≤ x ≤ b} Chöùng minh: Giaû söû phaûn chöùng laø f khoâng bò chaën. Khi ñoù vôùi moïi n ∈ N, toàn taïi xn ∈ [a, b] maø |f (xn)| > n. Do daõy (xn ) bò chaën, theo ñònh lyù Bolzano- Weierstrass, toàn taïi daõy con (xnk )k∈N hoäi tuï veà c ∈ [a, b]. Do f lieân tuïc, ta coù |f (c)| = lim |f (xnk )| = lim nk = +∞ voâ lyù. k→∞ k→∞ Töø tính bò chaën caùc giaù trò M = sup{f (x) : a ≤ x ≤ b} vaø m = inf {f (x) : a ≤ x ≤ b} laø höõu haïn. Ta chöùng minh toàn taïi α, β sao cho f (α) = M , ...