Giáo trình giải tích 1 part 5

Ví dụ. Dùng khai triển Taylor tính giới hạn. 1 a) Tính x→+∞(x − x2 ln(1 + )). lim Nhận xét. Các giới hạn ở ví dụ trên có thể dùng qui tắc L’Hospital sau đây (tuy nhiên tiến hành qui tắc này ở ví dụ b) sẽ phức tạp hơn). rất hữu ích. 4.2 Qui tắc L’Hospital. Để tính giới hạn các dạng vô định
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 1 part 5 46 eθ 3 vôùi sai soá |Rn | = | . |≤ (n + 1)! (n + 1)! Vaäy neáu yeâu caàu = 10−3 , ta caàn tính ñeán n = 6. Coøn neáu yeâu caàu = 10−6 , caàn n = 9. Ví duï. Duøng khai trieån Taylor tính giôùi haïn. 1 a) Tính x→+∞(x − x2 ln(1 + )). lim x 1 1 1 1 Ta coù ln(1 + )) = − 2 + o( 2 ). x x 2x x 2 ln(1 + 1 ) = 1 + x2 o( 1 ) → 1 , khi x → +∞. Vaäy x − x x2 x 2 2 √ 2 ex − 1 − x2 + x3 b) Tính x→0 . lim ln(1 + x2 ) √ 1 3 Ta coù ex2 − 1 − x2 + x3 = 1 + x2 + o(x3 ) − (1 + (−x2 + x3 ) + o(x2 ) = x2 + o(x2 ). 2 2 vaø ln(1 + x2 ) = x2 + o(x2 ). 32 √ x 2 ex − 1 − x2 + x3 3 = lim 2 2 = . Vaäy x→0 lim ln(1 + x2 ) x→0 x 2 Nhaän xeùt. Caùc giôùi haïn ôû ví duï treân coù theå duøng qui taéc L’Hospital sau ñaây (tuy nhieân tieán haønh qui taéc naøy ôû ví duï b) seõ phöùc taïp hôn). 0∞ 4.2 Qui taéc L’Hospital. Ñeå tính giôùi haïn caùc daïng voâ ñònh caùc qui taéc sau , 0∞ raát höõu ích. Meänh ñeà. Cho f, g laø caùc haøm khaû vi treân khoaûng I coù theå tröø taïi x0 ∈ I . (1) Neáu g (x) = 0, ∀x ∈ I vaø limx→x0 f (x) = limx→x0 g (x) = 0, thì f ( x) f (x) lim = lim g (x) x→x0 g (x) x→x0 (2) Neáu g (x) = 0, ∀x ∈ I vaø limx→x0 f (x) = limx→x0 g (x) = ∞, thì f ( x) f (x) lim = lim g (x) x→x0 g (x) x→x0 (vôùi ñieàu kieän caùc giôùi haïn veá phaûi toàn taïi, coù theå baèng voâ cuøng). Chöùng minh: (1) Tröôøng hôïp x0 = ±∞: Do gæa thieát coù theå thaùc trieån f, g thaønh haøm lieân tuïc taïi x0 khi cho f (x0 ) = g (x0) = 0. f (x) − f (x0 ) f (c) Theo ñònh lyù giaù trò trung bình, toàn taïi c naèm giöõa x0 , x: . = g (x) − g (x0 ) g (c) Khi x → x0 , thì c → x0 vaø ta coù ñaúng thöùc caàn chöùng minh. 1 1 Tröôøng hôïp x0 = ±∞: AÙp duïng tröôøng hôïp treân cho haøm F (t) = f ( ), G(t) = g ( ). t t (2) Chöùng minh töông töï. 47 Chöông III. Pheùp tính vi phaân Ví duï. ln x 1/x a) Vôùi p > 0, ta coù x→+∞ p = x→+∞ p−1 = 0 lim lim x px b) Vôùi p > 0, duøng qui taéc L’Hospital nhieàu laàn ñeán khi p ≤ k, ta coù xp pxp−1 p(p − 1) · · · (p − k + 1)xp−k lim = lim = · · · = lim =0 x→+∞ ex x→+∞ ex ex x→+∞ 0 ∞ Nhaän xeùt. Coù theå ñöa caùc daïng voâ ñònh veà daïng hay theo caùch sau: 0 ∞ f Daïng 0.∞: duøng bieán ñoåi fg = 1/g 1 1 1/g − 1/f Daïng ∞ − ∞: duøng bieán ñoåi f − g = − = 1/f 1/g 1/f g Caùc daïng 1 ∞ , 00 , ∞0 : khi ñoù f g = eg ln f , vaäy laáy log ta coù g ln f laø daïng 0.∞. Ví duï. ...