Giáo trình giải tích 1 part 6

Bài toán 1. Những hàm nào có nguyên hàm? Bài toán 2. Tìm nguyên hàm của một hàm đã cho.Nhận xét. Ở phần sau sẽ chứng minh mọi hàm liên tục là có nguyên hàm. 1 Hàm f (x) = (x sin ) có nguyên hàm nhưng không liên tục. x Hàm f (x) = sign(x) không có nguyên hàm (tại sao?). Bài toán đầu sẽ được xét ở phần sau. Sau đây là các qui tắc chính để tìm nguyên hàm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 1 part 658Vaäy neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b), thì f (x)dx = F (x) + C ,trong ñoù C laø haèng soá tuøy yù.Töø ñònh nghóa, ñaïo haøm vaø tích phaân laø hai pheùp toaùn ngöôïc cuûa nhau: vaø f (x)dx = f (x) F (x)dx = F (x)Baøi toaùn 1. Nhöõng haøm naøo coù nguyeân haøm?Baøi toaùn 2. Tìm nguyeân haøm cuûa moät haøm ñaõ cho.Nhaän xeùt. ÔÛ phaàn sau seõ chöùng minh moïi haøm lieân tuïc laø coù nguyeân haøm. 1Haøm f (x) = (x sin ) coù nguyeân haøm nhöng khoâng lieân tuïc. xHaøm f (x) = sign(x) khoâng coù nguyeân haøm (taïi sao?).Baøi toaùn ñaàu seõ ñöôïc xeùt ôû phaàn sau. Sau ñaây laø caùc qui taéc chính ñeå tìm nguyeân haøm.1.2 Qui taéc tính.Tính tuyeán tính. Neáu f, g coù nguyeân haøm treân moät khoaûng vaø α, β ∈ R, thì treânkhoaûng ñoù (αf (x) + βg (x))dx = α f (x)dx + β g (x)dxCoâng thöùc ñoåi bieán. Neáu x = ϕ(t) laø haøm coù ñaïo haøm lieân tuïc treân khoaûng J , vaøf (x) coù nguyeân haøm treân khoaûng I = ϕ(J ), thì f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = f (ϕ(t))dϕ(t)Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn. Neáu u, v laø caùc haøm coù ñaïo haøm lieân tuïc treân moätkhoaûng, thì treân ñoù u(x)v (x)dx = u(x)v (x) − v (x)u (x)dxHay vieát theo loái vi phaân v du. udv = uv −Chöùng minh: Suy töø ñònh nghóa vaø coâng thöùc ñaïo haøm: toång, tích vaø hôïp.Töø ñaïo haøm caùc haøm sô caáp, tính ngöôïc laïi, ta coù 59Chöông IV. Pheùp tính tích phaân1.3 Tích phaân moät soá haøm sô caáp. Vôùi x thuoäc moät khoaûng maø haøm döôùi daáu tíchphaân xaùc ñònh vaø laø haèng treân moãi khoaûng ñoù, ta coù C xα+1 xα dx = + C (α = −1) α+1 1 dx = ln |x| + C x ax Ñaëc bieät: ax dx ex dx = ex + C = +C ln a sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos2 x 1 = − cotan x + C dx sin2 x dx 1 x = arctan +C x2 + a2 a a dx 1 x+a = ln +C 2 − a2 x 2a x−a dx x √ = arcsin +C a a2 − x2 √ dx √ = ln |x + x2 ± a2 | + C 2 ± a2 x a2 x x a2 − x2 dx = a2 − x2 + arcsin +C 2 2 a 2 x a x2 ± a2 dx = x2 ± a2 ± ln |x + x2 ± a2 | + C 2 2Baøi taäp: Haõy kieåm tra ñaïo haøm veá phaûi baèng haøm trong daáu tích phaân ôû veá traùi.Ví duï. 2x 1 32a) (2x + sin x − √ 1 2x dx + x− 3 dx = )dx = sin xdx − − cos x − x 3 + C x ln 2 2 3 dx 1 dx xb) . Ñoåi bieán t = . Suy ra dx = adt. =2 2 x2 + a2 a a ...