Giáo trình giải tích 1 part 9

Cho A, B ⊂ R. Giả sử A bị chặn và B ⊂ A. So sánh sup A, sup B, inf A, inf B . 4. Cho A, B ⊂ R là các tập khác trống bị chặn. Chứng minh Đối với A ∩ B thì sao? sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B), inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B). D={ m : m ∈ Z, n ∈ N} 2n D. 5. Chứng minh tập các số dyadic là trù mật trong R. Chứng minh . D\F 6. Cho D trù mật trong R, và F là tập con hữu hạn của...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 1 part 9 Baøi taäp Soá thöïc - Daõy soá. √√ √√ √ ax + b 1. Chöùng minh caùc soá sau laø voâ tæ: 3, 2 + 6, 3 5 − 4 3, (a, b, c, d ∈ cx + d Q, ad − bc = 0, x ∈ Q). 2. Tìm sup A, inf A, max A, min A, neáu toàn taïi, khi: (−1)n 1 1 a) A = { b) A = { n + : n ∈ N} : n ∈ N} n+1 2 n+1 1 + (−1)n c) − n2 : n ∈ N} A={ n+1 3. Cho A, B ⊂ R. Giaû söû A bò chaën vaø B ⊂ A. So saùnh sup A, sup B, inf A, inf B . 4. Cho A, B ⊂ R laø caùc taäp khaùc troáng bò chaën. Chöùng minh sup(A ∪ B ) = max(sup A, sup B ), inf(A ∪ B ) = min(inf A, inf B ). Ñoái vôùi A ∩ B thì sao? m 5. Chöùng minh taäp caùc soá dyadic laø truø maät trong R. D={ : m ∈ Z, n ∈ N } 2n 6. Cho D truø maät trong R, vaø F laø taäp con höõu haïn cuûa D. Chöùng minh D\F truø maät trong R. n 7. Vôùi ∈ { 10 , 100 , · · · , 10n }, tìm N , sao cho: . 1 1 1 − 1 < , ∀n ≥ N n+1 n Ñeå yù khi caøng beù, thì N caøng lôùn. Chöùng minh nlim = 1. →∞ n + 1 1 1 8. Tìm N sao cho < 0, 03, ∀n ≥ N . Chöùng minh = 0. √ lim √ n+1 n+1 n→∞ 9. Daõy naøo trong caùc daõy sau ñaây hoäi tuï, tieán ra voâ cuøng hay giao ñoäng: a) an = 21n b) an = sin nπ c) an = 10n d) an = n sin π 2 n e) an = (−1) n tg( π − 1 ) f) a = −n2 n 2 n 10. Chöùng minh caùc daõy sau laø voâ cuøng beù, i.e. cho > 0, tìm N sao cho |a n | < , vôùi moïi n ≥ N (−1)n a) an = b) an = sin π c) an = qn (|q| < 1) n n 11. Chöùng minh caùc daõy sau laø voâ cuøng lôùn, i.e. cho E > 0, tìm N sao cho |a n | > E , vôùi moïi n ≥ N a) an = (−1)n n b) an = ln ln n c) an = qn (|q| > 1) 12. Ñieàn vaøo ncaùc giôùi haïn cô baûn sau: np √ a a) nlim b) nlim n = (a > 1) c) nlim n n = = n! a →∞ →∞ →∞ √ n 1 d) n→∞ e) n lim n! = lim 1 + = n n→∞ 96 13. Tính caùc giôùi haïn sau: n + (−1)n 5n2 + n − 7 n a) n→+∞ b) n→+∞ c) n→+∞ √ 2 lim lim lim n 2 − 2n + 6 n − (−1) 7n n +n+1 5 − 2n 1 nπ 1 + 2 +··· + n d) e) n→+∞ cos f) n→+∞ √ 4 lim lim lim n→+∞ 5 + 2n+1 n 2 9n + 1 √√ √ g) n→+∞ lim ( n2 + 5 − n2 + 3) h) lim n( n + 1 − n + 2) n→+∞ 1 1 1 1 1 1 i) n→+∞ j) n→+∞(1 − lim + ...