Giáo trình giải tích 2 part 2

Ví dụ. Dựa vào các x i trên có thể biểu diễn thành chuỗi lũy thừa các hàm khác: chuỗ 2 a) Hàm erf (x) = e−t dt không là hàm sơ cấp. Để biểu diễn hàm này dưới dạng 0 chuỗi lũy thừa ta dựa vào biểu diễn của ex với x = −t2
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 part 28Veá phaûi tieán veà 0, khi n → ∞, neân ta coù f (x) = T f (x).3.4 Chuoãi Taylor cuûa moät soá haøm. Töø khai trieån Taylor vaø baùn kính hoäi tuï cuûachuoãi luõy thöøa ta coù 1 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · ex 2! n! (−1)n 2n 1 1 = 1 − x2 + x4 + · · · + cos x x + ··· 2! 4! (2n)! (−1)n 2n+1 1 1 = x − x3 + x5 + · · · + sin x + ··· x 3! 5! (2n + 1)! 1 = 1 + x + x+ · · · + xn + · · · , | x| < 1 1−x (−1)n+1 1 1 ln(1 + x) = x − x2 + x3 + · · · + xan + · · · , |x| < 1 2 3 n α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + αx + x +··· + x + · · · , | x| < 1 2! n!Ví duï. Döïa vaøo caùc x i treân coù theå bieåu dieãn thaønh chuoãi luõy thöøa caùc haøm khaùc: chuoãa) Haøm erf (x) = e−t dt khoâng laø haøm sô caáp. Ñeå bieåu dieãn haøm naøy döôùi daïng 2 0chuoãi luõy thöøa ta döïa vaøo bieåu dieãn cuûa ex vôùi x = −t2 : (−1)n 2n 14 2 e−t = 1 − t 2 + t + ···+ t + ··· 2! n!Tích phaân töøng töø ta coù ∞ x3 x2 (−1)n (−1)k x2n+1 + · · · = x2k+1erf(x) = x − + +···+ x∈R 3 2!5 n!(2n + 1) k !(2k + 1) k=0 x sin tb) Haøm Si(x) = cuõng khoâng laø haøm sô caáp. Töø bieåu dieãn cuûa haøm sin x dt t 0ta coù ∞ (−1)n (−1)k x 12 14 x2n+1Si(x) = (1− t + t +· · ·+ t62n+· · · )dt = 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)!(2k + 1) 0 k=0Ví duï. Coâng thöùc sau cho tính xaáp xæ ln 2 vôùi toác ñoä nhanh hôn coâng thöùc ôû ví duïmuïc 4.3. Töø bieåu dieãn ln(1 + x) suy ra xn 1 1 ln(1 − x) = x + x2 + x3 + · · · + + · · · , |x| < 1 2 3 nLaáy ln(1 + x) − ln(1 − x) ta coù x2n+1 1+x 1 = 2(x + x3 + · · · + ln + · · · ), |x| < 1 1−x 3 2n + 1 1Thay x = ,ta coù 3 1 1 1 ln 2 = 2( + + ··· + ) + Rn 3 (2n + 1)32n+1 3 3. 3 9I.4 Chuoãi löôïng giaùc.Trong ñoù sai soá (1/9)n 1 1 1 1 1 Rn = = = o( n ) < 2k+1 k (2k + 1)3 3(2n + ...