Giáo trình giải tích 2 part 3

Hình cầu. Cho a ∈ Rn và r 0.Hình cầu mở tâm a bán kính r, định nghĩa: B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 part 318Ví duï. Töø caùc ví duï treân vaø tính hoäi tuï ñieåm, ta coù caùc giaù trò toång ∞ sin kx π−x vôùi 0 < x < 2π = 2 k k=1 ∞ 3x2 − 6πx + 2π 62 cos kx vôùi 0 < x < 2π = k2 12 k=1 ∞ sin kx x vôùi |x| < π (−1)k+1 = 2 k k=1 ∞ π 2 − 3x2 cos kx vôùi |x| < π (−1)k+1 = k2 12 k=1Töø caùc coâng thöùc treân suy ra ∞ sin(2k + 1)x π vôùi 0 < x < π = 2k + 1 4 k=0 ∞ π 2 − 2πx cos(2k + 1)x vôùi 0 < x < 2π = (2k + 1)2 8 k=0 ∞ sin 2kx π − 2x vôùi 0 < x < π = 2k 4 k=1 ∞ 2 − 6πx + π 2 cos 2kx 6x vôùi 0 < x < 2π = (2k )2 24 k=1Vôùi caùc gía trò x cuï theå caùc coâng thöùc treân suy ra ∞ ∞ ∞ π2 (−1)k+1 π2 (−1)k 1 π = = = , , k2 k2 6 12 2k + 1 4 k=1 k=1 k=0 Rn II. Khoâng gian1. KHOÂNG GIAN EUCLID Rn1.1 Khoâng gian vector Rn . Trong Rn = {x = (x1 , · · · , xn ) : xi ∈ R, i = 1, · · · , n}coù trang bò 2 pheùp toaùn: x + y = (x1 , · · · , xn ) + (y1 , · · · , yn ) = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ) αx = α(x1 , · · · , xn ) = (αx1 , · · · , αxn ), α ∈ R.Vôùi 2 pheùp toaùn treân Rn laø khoâng gian vector n-chieàu treân R.Ta thöôøng duøng cô sôû chính taéc: e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1). nVaäy x = (x1 , · · · , xn ) = xi ei . Ta cuõng kyù hieäu vector khoâng laø 0 = (0, · · · , 0). i=1Ngoaøi caáu truùc ñaïi soá, coøn coù caáu truùc hình hoïc xaùc ñònh bôûi tích voâ höôùng RnEuclid:1.2 Tích voâ höôùng-Chuaån-Metric. Cho x = (x 1 , · · · , xn ), y = (y1, · · · , yn ) ∈ Rn .Tích voâ höôùng: < x, y >= x1 y1 + · · · + xn yn . √ 1Chuaån: = < x, x > = (x2 + · · · + x2 ) 2 . x n 1 1Metric: d(x, y ) = x − y = {(x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 } 2 .Sau ñaây laø caùc tính chaát cô baûn cuûa caùc aùnh xaï treân:Tính chaát. Cho x, y, z ∈ Rn vaø α, β ∈ R.Tính chaát cuûa tích voâ höôùng: (S 1) < αx + βy, z > = α < x, y > +β < x, z > . (S 2) < x, y > = < y, x > . ≥ 0, vaø < x, x >= 0 khi vaø chæ khi (S 3) < x, x > x = 0.Tính chaát cuûa chuaån: ≥ 0, ...