Giáo trình giải tích 2 part 4

iới hạn lặp. Giới hạn trên còn gọi là giới hạn đồng thời để phân biệt với khái niệm giới hạn lặp sau đây. Cho f (x, y) là hàm hai biến (hay tổng quát hơn, hàm hai bộ biến). Giả sử (x0 , y0 ) là điểm giới hạn của miền xác định của f . Xét các giới hạn
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 part 4 28 Ví duï. xy (x + y ) a) lim = 0, (x,y )→(0,0) x2 + y 2 1 |x2 + y 2 ||x + y | xy ( x + y ) vì ≤ |x + y | → 0, khi (x, y ) → (0, 0). ≤ x2 + y 2 |x2 + y 2 | 2 sin xy sin xy b) lim = lim x = 1. 0 = 0. x (x,y )→(0,0) xy (x,y )→(0,0) x−y c) lim khoâng toàn taïi. Ñeå chöùng minh ñieàu naøy chæ caàn choïn 2 döõay, chaúng (x,y )→(0,0) x + y haïn (xk , yk ) = ( k , k ) vaø (xk , yk ) = ( k , 0) ñeàu tieán veà (0, 0), nhng f (xk , yk ) → 0 coøn 11 1 f (xk , yk ) → 1. 1.3 Giôùi haïn laëp. Giôùi haïn treân coøn goïi laø giôùi haïn ñoàng thôøi ñeå phaân bieät vôùi khaùi nieäm giôùi haïn laëp sau ñaây. Cho f (x, y) laø haøm hai bieán (hay toång quaùt hôn, haøm hai boä bieán). Giaû söû (x0 , y0 ) laø ñieåm giôùi haïn cuûa mieàn xaùc ñònh cuûa f . Xeùt caùc giôùi haïn a12 = lim lim f (x, y ), a21 = lim lim f (x, y ), a = lim f (x, y ). y →y0 x→x0 x→x0 y →y0 (x,y )→(x0 ,y0 ) Vaán ñeà: Moái quan heä giöõa caùc giôùi haïn treân ? Traû lôøi: loûng leûo, xeùt caùc ví duï sau Ví duï. Vôùi x0 = 0, y0 = 0. a) f (x, y) = (x + y) sin x sin y . Ta coù a12 , a21 khoâng toàn taïi, a = 0. 1 1 x2 − y 2 b) f (x, y) = . Ta coù a12 = 0, a21 = 1, coøn a khoâng toàn taïi. x2 + y xy c) f (x, y) = 2 2 . Ta coù a12 = a21 = 0, coøn a khoâng toàn taïi. x +y d) f (x, y) = x sin y . Ta coù a12 = 0, a21 khoâng toàn taïi, a = 0. 1 Baøi taäp: Tìm ñieàu kieän ñeå caùc giôùi haïn neâu treân toàn taïi vaø a = a 12 = a21 . Moät trong caùc ñieàu kieän laø: Meänh ñeà. Cho f : X × Y → Rm , x0 , y0 laø ñieåm tuï cuûa X, Y töông öùng. Giaû söû (i) Toàn taïi ylim0 f (x, y) = g (x), ∀x ∈ X. →y (ii) Toàn taïi xlim f (x, y) = h(y) ñeàu theo y, i.e. →x 0 ∀ > 0, ∃δ > 0 : x ∈ X, d(x, x0 ) < ⇒ d(f (x, y ), h(y )) < , ∀y ∈ Y. Khi ñoù caùc giôùi haïn sau toàn taïi vaø lim f (x, y ) = lim lim f (x, y ) = lim lim f (x, y ). x→x0 y →y0 y →y0 x→x0 (x,y )→(x0 ,y0 ) 29 III.1 Giôùi haïn. 1.4 Giôùi haïn voâ cuøng - Giôùi haïn ôû voâ cuøng. Ta coøn xeùt caùc giôùi haïn khi x tieán ra “voâ cuøng” hay giôùi haïn “voâ cuøng”, vaø coù caùc khaùi nieäm töông öùng cho caùc kyù hieäu sau: lim f (x) = L, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞. x→∞ x→a x→∞ Baøi taäp: haõy neâu caùc ñònh nghóa sao cho phuø hôïp vôùi caùc khaùi nieäm töông öùng cuûa haøm moät bieán. Coù bao nhieâu “ñieåm voâ cuøng” trong R n ? Hieåu theá naøo laø hình caàu hay laân caän cuûa ñieåm voâ cuøng ? 1.5 Kyù hieäu o vaø O. Cho a ∈ Rn hay a = ∞. Kyù hieäu Fa (Rn , Rm ) laø khoâng gian caùc haøm töø laân caän cuûa a trong Rn vaøo Rm . Ñeå so saùnh caùc haøm trong laân caän a, ngöôøi ta thöôøng duøng caùc kyù hieäu sau. Cho f, ψ ∈ Fa (Rn , Rm ). Khi ñoù kyù hieäu vaø ñònh nghóa: f (x) khi x → a f = o(ψ ) ⇔ lim = 0. ψ ( x) x→a Baøi taäp: Cho f, g, ψ ∈ Fa (Rn , Rm ). Chöùng minh: (1) Neáu f = o(ψ) vaø g = o(ψ) khi x → a, thì f + g = o(ψ) khi x → a. (2) Neáu f = o(ψ) khi x → a vaø g bò chaën, thì < f, g >= o(ψ) khi x → a. Cho f, ψ ∈ Fa (Rn , Rm ), kyù hieäu vaø ñònh nghóa: khi x → a f = O (ψ ) ⇔ ∃C > 0, r > 0 : f (x) ≤ C ψ (x) , ∀x ∈ B (a, r). Baøi taäp: Cho f, g, ψ ∈ Fa (Rn , Rm ). Chöùng minh: (1) Neáu f = O(ψ) vaø g = O(ψ) khi x → a, thì f + g = O(ψ) khi x → a. (2) Neáu f = O(ψ) khi x → a vaø g bò chaën, thì < f, g >= O(ψ) khi x → a. Nhaän xeùt. Nhö vaäy kyù hieäu o(ψ), O(ψ) chæ moät lôùp haøm chöù khoâng phaûi moät haøm cuï theå naøo. Chaúng haïn, töø f = o(ψ) vaø g = o(ψ) khoâng theå suy ra f = g . Cho f, g ∈ Fa (Rn , R), kyù hieäu vaø ñònh nghóa: f ( x) khi x → a f∼g ⇔ lim = 1. g ( x) ...