Giáo trình giải tích 2 part 9

Cho X, Y là các tập đóng rời nhau. Xét hàm f (x) = d(x, X) + d(x, Y ) Chứng minh f liên tục và f −1 (1) = Y, f −1 (0) = X . Suy ra tồn tại các tập mở U, V rời nhau và X ⊂ U, Y ⊂ V . (Ta nói: trong Rn , hai tập đóng rời nhau có thể tách bởi hai tập mở). inf 20. Định nghĩa khoảng các giữa 2 tập con X, Y của Rn : d(X, Y ) = x∈X,y∈Y d(x, y). n compact, X đóng. Từ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 part 9 79Baøi taäp b) Chöùng minh: khi vaø chæ khi d(x, X ) = 0. x∈X d(x, X ) c) Cho X, Y laø caùc taäp ñoùng rôøi nhau. Xeùt haøm f (x) = . d(x, X ) + d(x, Y ) Chöùng minh f lieân tuïc vaø f −1 (1) = Y, f −1 (0) = X . Suy ra toàn taïi caùc taäp môû U, V rôøi nhau vaø X ⊂ U, Y ⊂ V . (Ta noùi: trong Rn , hai taäp ñoùng rôøi nhau coù theå taùch bôûi hai taäp môû). 20. Ñònh nghóa khoaûng caùc giöõa 2 taäp con X, Y cuûa Rn : d(X, Y ) = x∈X,y∈Y d(x, y). inf Cho K ⊂ R n compact, X ñoùng. Töø tính lieân tuïcoûua haøm K x → d(x, X ), chöùng minh toàn taïi x0 ∈ K, y0 ∈ X sao cho d(x0 , y0 ) = d(K, X ). Tìm ví duï ñieàu kieän K compact khoâng theå thieáu. 21. Cho f : Rn → Rm lieân tuïc. Chöùng minh neáu laø taäp giôùi noäi, thì B ⊂ Rn f (B ) laø taäp giôùi noäi. 22. Ñuùng hay sai: neáu f : Rn → Rm lieân tuïc vaø compact (t.ö. lieân thoâng), thì K f −1 (K ) compact (t.ö. lieân thoâng). 23. Cho ví duï haøm lieân tuïc, giôùi noäi nhöng khoâng ñaït max, min. f 24. Cho f : K → R lieân tuïc, K compact. Chöùng minh taäp M = {x : f (x) = max f } K laø compact. 25. Ñuùng hay sai: khoâng toàn taïi toaøn aùnh lieân tuïc töø leân (0, 1). [0, 1] 26. Cho f : K −→ f (K ) laø 1-1 lieân tuïc. Chöùng minh neáu compact, thì f −1 lieân K tuïc. Neáu K khoâng compact thì sao? 1 27. Chöùng minh haøm lieân tuïc vaø giôùi noäi, nhöng khoâng lieân tuïc ñeàu g (x) = sin x treân (0, +∞). 28. Cho f : A → Rm , A ⊂ Rn . Ta noùi f thoaû ñieàu kieän Lipschitz neáuu ∃L > 0 : f (x) − f (y ) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ A a) Chöùng minh neáu f thoaû ñieàu kieän Lipschitz, thì f lieân tuïc ñeàu.. b) Xeùt xem toång, tích caùc haøm thoaû ñieàu kieän Lipschitz coù thoaû ñieàu kieän Lipschitz khoâng? 29. Chöùng minh neáu lieân tuïc, thì ñoà thò laø taäp ñoùng vaø lieân f : R n −→ Rm Gf thoâng. 30. Cho f : C → R lieân tuïc, C lieân thoâng. Chöùng minh neáu f (x) = 0, ∀x ∈ C , thì f (x) luoân döông hay luoân aâm vôùi moïi x ∈ C . 31. Chöùng minh moïi ña thöùc baäc leû heä soá thöïc luoân coùít nhaát moät nghieäm thöïc. 32. Chöùng minh phöông trình coù ít nhaát hai nghieäm thöïc. x 4 + 7x3 − 9 = 0 33. Chöùng minh phöông trình: tg x = x coù voâ soá nghieäm. 34. Cho f : [a, b] → [a, b] lieân tuïc. Chöùng minh f coù ít nhaát moät ñieåm baát ñoäng, i.e. ñieåm x0 : f (x0 ) = x0 . 80Baøi taäp 35. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [0, 2π ] vaø f (0) = f (2π ). Chöùng minh toà taïi c∈ (0, 2π ), f (c) = f (c + π ). 36. Cho f : [a, b] → R lieân tuïc, f (a)f (b) < 0. Neâu phöông phaùp xaáp xæ tìm nghieäm √ phöông trình f (x) = 0. AÙp duïng tính gaàn ñuùng 2 vôùi sai soá < 10 , baèng caùch 1 tìm nghieäm x 2 − 2 = 0 treân [0, 2] 37. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa α ∈ R, thæ haøm f (x) = αx, laø aùnh xaï co? x∈R ab 38. Cho A : R2 → R2 laø aùnh xaï tuyeán tính xaùc ñònh bôûi ma traän . A= cd a) Chöùng minh neáu a, b, c, d > 0, thì xaùc ñònh moät aùnh xaï: → R2 , vôùi R2 A + + R+ = {x ∈ R : x > 0}. b) Vôùi ñieàu kieän cuûa a) ñònh nghóa f : [0, π ] → [0, π ], bôûi 2 2 cos ϕ cos f (ϕ) = λ(ϕ) A sin ϕ sin f (ϕ) Chöùng minh f lieân tuïc. Töø ñoù suy ra coù moät vector rieâng thuoäc R2 . A + c) f coù laø aùnh xaï co? 39. Cho f : R2 → R2 , laø aùnh xaï tu ...