Giáo trình giải tich 3 part 2

Để việc tự học có kết quả tốt sinh viên nên tham khảo thêm một số tài liệu khác cónội dung liên quan (đặc biệt là phần hướng dẫn giải các bài tập). Khó có thể nêu hếttài liệu nên tham khảo, ở đây chỉ đề nghị các tài liệu sau (bằng tiếng Việt)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tich 3 part 2 112.2 Mét sè tiªu chuÈn héi tô ®Òu ∞§Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn Cauchy) TÝch ph©n I (t) = f (x, t)dx héi tô ®Òu trªn aT khi vµ chØ khi b2 ∀ > 0, ∃a0( ) > a, sao cho ∀b1, b2 ≥ a0 , ∀t ∈ T =⇒ f (x, t) < . (∗) b1 ∞Chøng minh. Gi¶ sö I (t) = f (x, t)dx héi tô ®Òu trªn T . Khi ®ã, §iÒu kiÖn (∗) asuy ra tõ bÊt ®¼ng thøc b2 ∞ ∞ f (x, t) ≤ f (x, t) + f (x, t) b1 b1 b2Ng-îc l¹i, víi t cè ®Þnh, ®iÒu kiÖn (∗) suy ra I (t) héi tô. Trong (∗), cho b2 → 0,suy ra I (t héi tô ®Òu theo ®Þnh nghÜa. 2§Þnh lý 6. (Tiªu chuÈn Weierstrass) Gi¶ sö(1) tån t¹i hµm ϕ(x) sao cho |f (x, t)| ≤ ϕ(x), ∀x ≥ a, ∀t ∈ T , ∞(2) tÝch ph©n ϕ(x)dx héi tô. a ∞Khi ®ã, tÝch ph©n I (t) = f (x, t)dx héi tô ®Òu trªn T . aChøng minh. Theo tiªu chuÈn Cauchy ®èi víi tÝch ph©n suy réng héi tô, víi mäi > 0, tån t¹i a0 sao cho b2 ϕ(x) < , ∀b1, b2 ≥ a0 . b1Suy ra, b2 b2 b2 f (x, t) ≤ |f (x, t)| ≤ ϕ ( x) < . b1 b1 b1Theo §Þnh lý 5, tÝch ph©n I (t) héi tô ®Òu. 2§Ó kh¶o s¸t tÝnh chÊt cña tÝch ph©n suy réng phô thuéc tham sè héi tô ®Òu, chóngta thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a nã vµ d·y hµm héi tô ®Òu. 12 ∞MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö tÝch ph©n I (t) = f (x, t)dx héi tô ®Òu trªn T vµ (an ), víi aan > a. lµ d·y sè sao cho lim an = ∞. Khi ®ã, d·y hµm n→∞ an In (t) = f (x, t)dx ahéi tô ®Òu tíi hµm sè I (t) trªn T . ∞Chøng minh. Do I (t) = f (x, t)dx héi tô trªn T nªn d·y hµm (In (t)) héi tô tíi aI (t) trªn T . V× I (t) héi tô ®Òu nªn víi mäi > 0, tån t¹i a0 sao cho ∞ f (x, t) < , ∀b > a0, ∀t ∈ T. bV× lim an = ∞ nªn tån t¹i N > 0 sao cho víi mäi n ≥ N , ta cã an ≥ b. VËy, n→∞ta cã a ∞ ∞ n |In (t) − I (t)| = f (x, t) − f (x, t) = f (x, t) < , a a anvíi mäi n ≥ N , víi mäi t ∈ T . Tõ ®ã, In (t) héi tô ®Òu tíi I (t) trªn T . 22.2.1 TÝnh liªn tôc§Þnh lý 7. NÕu hµm f (x, t) liªn tôc trªn [a, ∞) × [c, d] vµ tÝch ph©n I (t) =∞ f (x, t)dx héi tô trªn trªn [c, d], th× I (t) liªn tôc trªn [c, d].aChøng minh. Gäi (an ), víi an > a. lµ d·y sè sao cho lim an = ∞ vµ xÐt d·y n→∞hµm a n In (t) = f (x, t)dx, t ∈ [c, d]. aVíi mçi n cè ®Þnh, theo §Þnh lý 1, hµm In (t) liªn tôc trªn [c, d]. Theo mÖnh ®Ò1, d·y hµm (In (t)) héi tô ®Òu tíi I (t). Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh liªn tôc cña d·y hµmhéi tô ®Òu, I (t) liªn tôc trªn [c, d]. 2 132.2.2 TÝnh kh¶ vi§Þnh lý 8. Gi¶ sö ∂f(a) Hµm f (x, t) liªn tôc vµ cã ®¹o hµm riªng (x, t) liªn ...