Giáo trình giải tich 3 part 6

3.5 Công thức Stokes cho tích phân loại 1 . Cho F là một trường vector khả vi trongN , có bờ ∂S = C là đường cong định hướng cảm sinh bởi trường vector tiếp xúc đơn vị T sao cho miền S nằm phía trái
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tich 3 part 6 51IV.3 Coâng thöc StokesKhi ñoù bieåu ñoà sau giao hoaùn grad rot div C ∞ (U ) C ∞ (U ) → X (U ) → X (U ) → ↓ id ↓ h1 ↓ h2 ↓ h3 d d d Ω0 (U ) Ω1 (U ) → Ω2 (U ) Ω3 (U ) → →nghóa laø ta coù: h1 ◦ grad = d ◦ id, h2 ◦ rot = d ◦ h1 , h3 ◦ div = d ◦ h2 .Chöùng minh: Xem nhö baøi taäpHeä quûa. Töø d ◦ d = 0, suy ra rot ◦ grad = 0, div ◦ rot = 0.3.5 Coâng thöùc Stokes cho tích phaân loaïi 1 . Cho F laø moät tröôøng vector khaû vi trongR3 .(1) Giaû söû S laø maët cong compact trong R3 , ñònh höôùng bôûi tröôøng vector phaùp ñôn vòN , coù bôø ∂S = C laø ñöôøng cong ñònh höôùng caûm sinh bôûi tröôøng vector tieáp xuùc ñônvò T sao cho mieàn S naèm phía traùi. Khi ñoù < F, T > dl = < rot F, N > dS. C S(2) Giaû söû V laø mieàn giôùi noäi trong R3 coù bôø ∂V = S laø maët cong ñònh höôùng bôûitröôøng vector phaùp ñôn vò N höôùng ra phía ngoaøi. Khi ñoù < F, N > dS = div F dV. S VChöùng minh: Suy töø coâng thöùc Stokes vaø moái quan heä giöõa tích phaân loaïi 1 vaø loaïi 2. 53 Bµi tËp gi¶i tÝch 31 Bµi tËp tich ph©n phô thuéc tham sè1. TÝnh c¸c giíi h¹n √ 1 1+t 1 dx dx x2 + t2 dx 1) lim 2) lim 3) lim 2 + t2 n→∞ 0 1 + (1 + x/n)n 1+x t→0 −1 t→0 t π/2 1+t 1 ln(x + |t|) x −x2 /t2 e−t sin x dx. 4) lim 5) lim e dx 6) lim ln(x2 + |t2| t2 t→0 t t→0 0 t→∞ 0 1 tf (x)2. Kh¶o s¸t tÝnh liªn tôc cña hµm I (t) = , trong ®ã hµm f (x) liªn tôc x2 + t 2 0vµ d-¬ng trªn ®o¹n [0, 1].3.1) T×m ®¹o hµm cña c¸c tÝch ph©n eliptic π/2 π/2 dx 1 − t2 sin2 xdx E (t) = F (t) = dx. 1 − t2 sin2 x 0 02) H·y biÓu diÔn E , F qua c¸c hµm E , F .3) Chøng minh r»nh E tháa ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1 1 E (t) + E (t) + E ( t ) = 0. 1 − t2 t4. Gi¶ sö hµm f (x, y ) cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc. TÝnh I (t) nÕu t2 t x +t sin(x2 + y 2 − t2)dy dx. 1) I (t) = f (x + t, x − t)dx 2) I (t) = 0 0 x −t5. Chøng minh r»ng hµm Bessel víi c¸c chØ sè nguyªn π 1 In (t) = cos(nx − t sin x)dx, π 0 ...