Giáo trình Giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Giáo trình Giải tích 3 do PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo biên soạn trình bày về: phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi với những kiến thức cơ bản như lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân, phương pháp toán tử Laplace.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hàm số § 5 Chuỗi luỹ thừa Giáo trình GIẢI TÍCH 3 PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUY T CHU I § 1. i cương v chu i s chu i h i t 1 1 1 1 t v n : 1+ + + + + n + = 2 2 4 8 2 • Có ph i là c c ng mãi các s h ng c a v trái thì thành v ph i? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chu i s : nh nghĩa: V i m i s t nhiên n, cho tương ng v i m t s th c an, ta có dãy s kí hi u là {an } . nh nghĩa: Cho dãy s {an}, ta g i t ng vô h n a1 + a2 + a3 + là chu i s , ký hi u là • • nh nghĩa i u ki n c n • Các tính ch t cơ b n ∑ an , n =1 ∞ an là s h ng t ng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là t ng riêng th n. N u lim Sn = S thì ta b o chu i h i t , n →∞ có t ng S và vi t: ∑ an = S . n =1 ∞ Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta b o chu i ∑ an phân kỳ. n =1 ∞ Ví d 1. Xét s h i t và tính Sn = 1 + q + q 2 + + qn = ∑ qn n =0 n +1 ∞ 1− q , 1− q q 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  + 2 3 2 3 4 5 8 2  1 1 1 1 1 > + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1) 2 4 8 2 2 Do ó Sn có th l n bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞ n →∞  1 + m + 2 +1 + Chu i ã cho phân kỳ Ví d 4. Chu i ngh ch Sn = 1 + 1 22 + 1 32 + + 1 n2 o bình phương: = 1+ 1 1 + + 2.2 3.3 ∑ n2 n =1 ∞ 1 + 1 1 1 < 1+ + + n.n 1.2 2.3 + 1 ( n − 1) n 1 1  1 1   1 1  = 1+  −  +  −  +  −  + 1 2   2 3   3 4  Sn tăng và dương ∃ lim Sn = S n →∞ 1 1  1 + −  =2− 0 Nh n xét. ∑ an h n =1 i t khi và ch khi Sn b ch n. Trong bài này ta gi thi t ch xét các chu i s d

ng 2. Các nh lí so sánh. nh lí 1. Cho hai chu i s dương, an ≤ bn , n tuỳ ý ho c t m t lúc nào ó tr i ∑ bn n =1 ∞ n =1 ∞ h it ⇒ ∑ an n =1 ∞ n =1 ∞ h it ∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn phân kỳ PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ch ng minh. a1 + a2 + + an < b1 + b2 + 0 < Sn ≤ Tn Rút ra các kh ng nh. + bn Ví d 1. ∑ 3n + 1 n =1 ∞ 1 Ví d 2. n =2 ∑ ln n ∞ 1 Chu i dương 3 n + 1 > 3n 1 3n + 1 ∞ 1 < 1 3n 1 1 3 ⇒ Chu i ã cho h i t n =1 ∑ 3n = h it 1− Chu i dương ln n < n 1 1 0< < n ln n ∞ 1 phân kỳ n n =2 ∑ ∞ n =2 ∑ ln n ∑ n =1 ∞ 1 phân kỳ , β ∈ » ; (HTT ) Ví d 3. a) ∑ 2n ( 3 n + 2 ) n =1 ∞ 3n 2 + 2n + 1 , (HT) b) ( n + 1) sin ( 2n β ) n + 2n + 3 7 3 a nh lí 2. Cho hai chu i s dương, lim n = k ≠ 0 ⇒ n →∞ bn ∑ an n =1 ∞ và ∑ bn cùng h n =1 ∞ i t ho c cùng phân kì. Nh n xét. 1°/ N u lim i v i các chu i s dương ∑ an và ∑ bn : ∑ an h n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ ∞ an = 0 và n →∞ bn ∑ bn n =1 ∞ ∞ h it ⇒ it a 2/° N u lim n = ∞ và n →∞ bn ∑ bn n =1 phân kì ⇒ ∑ an phân kì Ví d 4. ∑ 2n3 − 3 n =1 ∞ n+2 Chu i dương 2 2 1+ n+2 n n = 1 . n = 3. 3 2 2n − 3 2n 1 − 3 2n 1 − 3 3 2n 2n 3 n +2 1  lim  : 2  =1 n →∞  2n 3 2n  1+