Giáo trình Giải tích hàm: Phần 1 - Phạm Minh Thông

Giáo trình Giải tích hàm: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: không gian định chuẩn và không gian banach; ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích hàm: Phần 1 - Phạm Minh Thông Më ®Çu TiÕp theo Gi¸o tr×nh Kh«ng gian T«p« - §é ®o - TÝch ph©n, gi¸o tr×nh Gi¶itÝch Hµm ®−îc t¸c gi¶ biªn so¹n trong ch−¬ng tr×nh x©y dùng bé gi¸o tr×nh hoµnchØnh cho sinh viªn hÖ §¹i häc s− ph¹m ngµnh To¸n Tr−êng §¹i häc T©y B¾c. Häc phÇn Gi¶i tÝch Hµm hiÖn nay ®ang ®−îc gi¶ng d¹y t¹i Tr−êng §¹i häcT©y B¾c trong n¨m ®¬n vÞ häc tr×nh. §iÒu kiÖn tiªn quyÕt lµ sinh viªn ®· häcxong c¸c häc phÇn Lý thuyÕt tËp hîp vµ L«gic To¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh, PhÐp tÝnhvi ph©n - tÝch ph©n hµm mét biÕn, PhÐp tÝnh vi ph©n tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn,Hµm biÕn phøc, Kh«ng gian t«p« - §é ®o - TÝch ph©n. Khi biªn so¹n gi¸o tr×nhnµy, chóng t«i ®· chó ý nhiÒu ®Õn yÕu tè s− ph¹m ®Ó ®¶m b¶o cho viÖc tr×nh bµyc¸c vÊn c¬ b¶n võa tinh gi¶n, logic m¹ch l¹c võa ®¶m b¶o ®−îc hµm l−îng kiÕnthøc cÇn thiÕt nhÊt, ®ång thêi chóng t«i chó ý nhiÒu ®Õn viÖc h×nh thµnh cho sinhviªn nh÷ng ph−¬ng ph¸p vµ kÜ n¨ng cÇn thiÕt cña m«n häc th«ng qua kÜ thuËtchøng minh c¸c ®Þnh lý, mÖnh ®Ò quan träng vµ qua viÖc s−u tÇm, ph©n lo¹i méthÖ thèng bµi tËp phong phó kÌm theo h−íng dÉn gi¶i vµ lêi gi¶i chi tiÕt. Ngoµira, néi dung cña gi¸o tr×nh lµ mét ®¬n vÞ kiÕn thøc trän vÑn, cã mèi liªn hÖ chÆtchÏ víi nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc quen thuéc nªn chóng t«i cã thÓ tin t−ëng gi¸otr×nh sÏ trë thµnh tµi liÖu gÇn gòi, dÔ hiÓu ®èi víi sinh viªn trong qu¸ tr×nh häctËp. Nh©n dÞp gi¸o tr×nh ®−îc ®−a vµo sö dông, t¸c gi¶ xin bµy tá sù biÕt ¬n ®èivíi nh÷ng ng−êi thÇy t«n kÝnh ®· d¹y dç trùc tiÕp còng nh− gi¸n tiÕp qua nh÷ngtµi liÖu quý b¸u cña hä mµ t¸c gi¶ ®· sö dông lµm nguån tµi liÖu tham kh¶o chÝnhcña gi¸o tr×nh, qua ®ã t¸c gi¶ ®· ®−îc trang bÞ nh÷ng tri thøc, ph−¬ng ph¸p luËnvµ sù tù tin s½n sµng chia sÎ nh÷ng kinh nghiÖm vµ tri thøc trong NCKH dÉn®Õn mét trong c¸c kÕt qu¶ cña sù d¹y dç ®ã lµ chÝnh lµ sù ra ®êi cña gi¸o tr×nhnµy. T¸c gi¶ xin c¶m ¬n c¸c ®ång nghiÖp trong tæ Gi¶i tÝch khoa To¸n - Lý - Tin,tr−êng §¹i häc T©y B¾c ®· d¹y thùc nghiÖm vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých gióp 3hoµn thiÖn gi¸o tr×nh. §Æc biÖt, t¸c gi¶ xin c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, Phßng Qu¶nlý khoa häc vµ Quan hÖ quèc tÕ, c¸c ®ång nghiÖp vµ sinh viªn Khoa To¸n - Lý- Tin tr−êng §¹i häc T©y B¾c vÒ sù gióp ®ì quý b¸u còng nh− sù t¹o ®iÒu kiÖnthuËn lîi ®Ó gi¸o tr×nh nµy ®−îc ®−a vµ sö dông. Do kinh nghiÖm khoa häc cñat¸c gi¶ cßn nhiÒu h¹n chÕ, ch¾c ch¾n tµi liÖu kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕusãt. T¸c gi¶ mong muèn tiÕp tôc nhËn ®−îc nhiÒu gãp ý ®Ó t¸c gi¶ hoµn thiÖngi¸o tr×nh, gãp phÇn tèt h¬n trong viÖc n©ng cao chÊt l−îng gi¶ng d¹y vµ häc tËpcña sinh viªn Khoa To¸n - Lý - Tin Tr−êng §¹i häc T©y B¾c. S¬n La, th¸ng 12 n¨m 2007 T¸c gi¶ Ph¹m Minh Th«ng 4 Môc lôc1 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach 9 1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ kh«ng gian Banach . . . . . . . 11 1.3 TËp compact trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . 13 1.4 Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14 2 Kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch bËc p 1 . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 BÊt ®¼ng thøc Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 BÊt ®¼ng thøc Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Chuçi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Chuçi vµ sù héi tô cña chuçi . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 §Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Kh«ng gian L(E; F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Mét sè vÝ dô vÒ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . 39 5 5 Kh«ng gian con vµ kh«ng gian th−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1 Kh«ng gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Tæng trùc tiÕp t« p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Siªu ph¼ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Kh«ng gian th−¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 Kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . 52 6.2 Kh«ng gian kh¶ li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7 Bµi tËp ch−¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Ba nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm 64 1 Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.1 Nöa chuÈn liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 §Þnh lý ¸nh x¹ më vµ ®å thÞ ®ãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1 §Þnh lý ¸nh x¹ më . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 §Þnh lý ®å thÞ ®ãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 §Þnh lý Hahn- Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 §Þnh lý Hahn-Banach ®èi víi kh«ng gian vector thùc . . . 73 3.2 §Þnh lý Hahn- Banach ®èi víi kh«ng gian vector phøc . . 76 3.3 Mét sè hÖ qu¶ quan träng cña ®Þnh lý Hahn-Banach . . . . 79 4 Bµi tËp ch−¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...