Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 2

Phần 2 giáo trình "Hình học Afin và Hình học Ơclít" trình bày nội dung chương 4 - Không gian Ơclít. Sau mỗi chương đều có phần bài tập, nhưng không có lời giải hoặc đáp số. Giáo trình dành cho sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm và là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến vấn đề trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 2 CHƯƠNG IV KHÔNG GIAN OCLIT §12. KHÔNG GIAN ƠCLIT Ì - Định nghĩa: Không gian Ociit là không gian afin lifn kết với khônggian véctơ Oclit hữu hạn chiếu. Không gian Oclit sẽ gọi là n chiếu nếu không gianvéctơ Oclit liên kết v ớ i n ó có c h i ế u bằng n. Không gian Oclit thường được kí hiêu là E. không gianvéctơ Oclit liên kết v ớ i n ó đ ư ợ c kí h i ệ u là E. 3 Vỉ du: à) Không gian Oclit thông thường E hoe ờ phổthõng. bi Mỗi không gian véctơ Oclit hữu hạn chiếu với cáutrúc afin chính tác là m ộ t k h ô n g gian Oclit, chảng hạn nhưRA c! Các không gian afin thực n chiều đểu có thể trởthành không gian Oclit n chiểu bằng cách trang bị m ộ t tíchvô h ư ớ n g cho không gian véctơ liên kết với k h ô n g gian afinđã cho. d) Nếu E là không gian Oclit liên kết với E thi mỗiphảng a c a nó cng là không gian Oclii liên kết v ớ i C?( t r o n g ã* x é t tích vô hướng cảm sinh từ tích vô hướng c aE).78 2. Mục t i ê u trực chuẩn. Múc tiêu afin {ẽị, e->, • • • ì e) n của không gian Oclit n nchiểu E gói là múc tiêu trúc chuẩn (hay hệ tọa đô Đè cáccuông góc) nếu cơ sờ £ = { ej, é-,, ĩ } n của E n là cơsờ trúc chuẩn, t ứ c là ẽ* ej = Từ các tỉnh chất của chuẩn cùa véc tơ trong không ngian véctơ Oclit E suy ra dễ d à n g của tính chất sau: a) d(M,N) = d(N,M) b) d(M,N) ặ 0 và d(M,N) = 0 giao kí hiệu a _L /3 nế u hai k h ô n g gian véctơ a v à / 3 trựcgiao (tức mọi véctơ của ã*.trực giao với mọi véctơ của /3ỹ. Hai phảng a và ộ gọi là bù trục giao n ế u ã* và /3 hù ntrưc giao trong E . 2. Đ ị n h lý: Hai phàng trực giao có không qua mộtđiểm chung. Hai phảng bù trực giao có một điềm chungduy nhát. Chứng minh. Giả sử hai phảng a và /> trực giao. Nế ucó hai điểm M,N G a n Ịi thì M N e ã* n ^ suy raMN.MN = 0. Theo tính chất xác định của tích vô hướng tacó M = N . Nếu « và /3 bù trực giao thì E n = ã* © ịi do đó nế ua n /3 = 0 thì dim(a + (ỉ) = đima + dim/3 - dim (ã* n ,51+1.suv ra đim(a -ì- Ị3) - n+1 (vô lý). Vậv t í và /3 có điểmchung duy nhất. Hê quả: Nế u a v à /í) bù trực giao trong E n thi tống của ...