Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3

Toán tử và hệ hàm. Do hệ lượng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên người ta không thể biểu diễn các đại lượng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thường như trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lượng tử
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3 Ch−¬ng Ch−¬ng 3 To¸n To¸n tö vµ hÖ hµm 3.1. 3.1. To¸n tö Do hÖ l−îng tö cã c¸c thuéc tÝnh kh¸c biÖt víi hÖ vÜ m«, nªn ng−êi ta kh«ng thÓ biÓu diÔn c¸c ®¹i l−îng vËt lÝ cña hÖ nµy b»ng c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch th«ng th−êng nh− trong c¬ häc cæ ®iÓn mµ ph¶i dïng ®Õn mét c«ng cô to¸n häc míi cã kh¶ n¨ng m« t¶ b¶n chÊt cña hÖ l−îng tö. Mét trong nh÷ng c«ng cô Êy lµ to¸n tö t¸c dông lªn hµm sãng. 3.1.1. §Þnh nghÜa: To¸n tö lµ mét phÐp to¸n khi ta t¸c dông lªn mét hµm th× cho ra mét hµm míi. Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n ®−îc qui −íc trong to¸n tö A ®èi víi hµm sè ϕx ®øng sau nã ta nhËn ®−îc hµm míi ψx. Hay nãi c¸ch kh¸c ψx lµ kÕt qu¶ cña sù t¸c ®éng to¸n tö A lªn hµm sè ϕx. A ϕx = ψx KÝ hiÖu: (3.1) ˆ VÝ dô: To¸n tö A hµm sè hµm míi nh©n víi a x ax 4 4x3 d/ dx x +5 To¸n tö A = nh©n víi a cã nghÜa lµ thùc hiÖn phÐp nh©n a vµo hµm sè ®øng sau nã. A = d/ dx nghÜa lµ lÊy ®¹o hµm theo x hµm sè ®øng sau nã. Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu ˆ ˆˆˆ c¸c to¸n tö: A , B , C .. . 3.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ to¸n tö a. PhÐp céng cña hai to¸n tö A vµ B: Tæng c¸c to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C ( C = A + B ) sao cho khi C t¸c dông lªn ˆ ˆ ˆ ˆ hµm u (tuú ý) th× b»ng A + B t¸c dông lªn hµm u ®ã. ˆ ˆ A + B = C nÕu C u = A u + B u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ VÝ dô: A = x; B = d/ dx ; u = U (x) ˆ ˆ C = x + d /dx ˆ C u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u ˆ b. TÝch c¸c to¸n tö: TÝch hai to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C hay C sao cho: 23 C = A. B ⇒ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ C u = A [ B u] ⇒ ˆ ˆ C = B.A C u = B [ A u] ˆˆ ˆˆ VÝ dô: A = x , B = d /dx ˆ ˆ ˆ ˆˆ C u = A [ B u] = x.du /dx C u = B [ A u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u ≠ C u ˆ ˆ ˆˆ NÕu A . B ≠ B . A th× ta nãi hai to¸n tö A , B kh«ng giao ho¸n víi nhau, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆˆ ˆ ta gäi [ A , B ] = A . B - B . A lµ giao ho¸n tö cña hai to¸n tö A vµ B . ˆ NÕu A . B = B . A th× ta nãi hai to¸n tö A vµ B giao ho¸n. ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [ A,B] = A. B- B. A = 0 ˆˆ ˆˆˆˆ b. Luü thõa cña to¸n tö: Luü thõa cña to¸n tö A ®−îc ®Þnh nghÜa: ˆ ¢2u = (¢.¢)u = ¢ (¢u) VËy ¢2 = ¢.¢ lµ ¢ t¸c dông liªn tiÕp hai lÇn. d , u(x) = x4 VÝ dô: ¢= dx d d ¢2 u = (4x3) = 12x2 (du/dx) = dx dx 3.2. 3.2. To¸n tö tuyÕn tÝnh 3.2.1. §Þnh nghÜa: To¸n tö L ®−îc gäi lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh nÕu nã tho¶ m·n biÓu thøc ˆ sau: L (au + bv) = a L u + b L v (3.2) ˆ ˆ ˆ u,v: hµm ; a,b: c¸c h»ng sè bÊt k× d VÝ dô: to¸n tö cña hµm f(x) theo x lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v×: dx d d d (af1(x) + bf2(x)) = a. f1(x) + b. f2(x) dx dx dx Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh nh−: to¸n tö nh©n (víi mét sè, mét hµm sè) d2 d +To¸n tö ∫ ...