Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 4

Hệ tiên đề của cơ học lượng tử. Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lượng tử) được đặc trưng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là hàm y (q,t); gọi là hàm sóng .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 4 Ch−¬ng Ch−¬ng 4 HÖ tiªn HÖ tiªn ®Ò cña c¬ häc l−îng tö4.1. (tiªn4.1. Tiªn ®Ò vÒ hµm sãng (tiªn ®Ò 1) - Nguyªn lÝ chång chÊt c¸c tr¹ng th¸i4.1.1. Hµm sãng a. Néi dung: “Mçi tr¹ng th¸i cña mét hÖ vËt lÝ vi m« (hÖ l−îng tö) ®−îc ®Æc a.tr−ng b»ng mét hµm x¸c ®Þnh, ®¬n trÞ, h÷u h¹n, liªn tôc phô thuéc vµo thêi gian t vµ to¹®é q, kÝ hiÖu lµ hµm ψ (q,t); gäi lµ hµm sãng hay hµm tr¹ng th¸i cña hÖ ”. Mäi th«ng tin vÒ hÖ l−îng tö chØ cã thÓ thu ®−îc tõ hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸icu¶ hÖ. b. ý nghÜa vËt lÝ vµ tÝnh chÊt cña hµm sãng nghÜa - V× hµm sãng ψ (q,t) nãi chung lµ hµm phøc nªn nã kh«ng cã ý nghÜa vËt lÝ trùctiÕp, mµ chØ cã b×nh ph−¬ng modun ψ 2 (trÞ nµy lµ thùc) cña hµm sãng míi cã ý nghÜalµ mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t t¹i to¹ ®é t−¬ng øng, ®ã chÝnh lµ ý nghÜa vËt lÝ cña hµmsãng. - NÕu gäi dw lµ x¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong mét thÓ tÝch dv xung quanh mét 2®iÓm nµo ®ã trong kh«ng gian th× ta sÏ cã: dw = ψ dv dw 2 MËt ®é x¸c suÊt ψ = (4.1) dv 2 NÕu lÊy tÝch ph©n cña ψ trong toµn kh«ng gian ta sÏ cã x¸c suÊt t×m thÊyh¹t trong toµn kh«ng gian, theo lÝ thuyÕt x¸c suÊt th× x¸c suÊt nµy b»ng 1. 2 ∫ψ dv = 1 (4.2) 2 BiÓu thøc (4.2) muèn tho¶ m·n tÝch ph©n ∫ ψ dv ph¶i cã gi¸ trÞ h÷u h¹n,nghÜa lµ ψ 0 ®ñ nhanh ë v« cùc. §©y lµ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña hµm sãng, hµm ψ(q,t) gäi lµ hµm ®· chuÈn ho¸. Ngoµi ra, hµm ψ(q,t) ph¶i tho¶ m·n tÝnh chÊt ®¬n trÞ, h÷u h¹n vµ liªn tôc ®Ó th¶om·n tÝnh chÊt cña mét hµm mËt ®é v×: 21- TÝnh ®¬n trÞ: V× ψ biÓu thÞ mËt ®é x¸c suÊt cña h¹t vµ x¸c suÊt lµ mét ®¹i l−înghoµn toµn x¸c ®Þnh nªn Ψ ph¶i lµ mét hµm ®¬n trÞ cña to¹ ®é, nªó kh«ng t¹i mét to¹ ®éx¸c ®Þnh ta sÏ thu ®−îc nhiÒu gi¸ trÞ x¸c suÊt vµ ®iÒu nµy hoµn toµn kh«ng cã ý nghÜavËt lý.2- TÝnh h÷u h¹n: V× x¸c suÊt lµ h÷u h¹n nªn hµm sãng Ψ ph¶i h÷u h¹n t¹i mäi vÞ trÝ.3- TÝnh liªn tôc: V× tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö ph¶i biÕn ®æi liªn tôc trong kh«ng gian,nªn hµm sãng Ψ m« t¶ tr¹ng th¸i cña h¹t ph¶i lµ mét hµm liªn tôc. 324.1.2. Nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i Trong c¬ häc l−îng tö xuÊt ph¸t tõ b¶n chÊt cña hµm sãng ng−êi ta thõa nhËnmét nguyªn lÝ, gäi lµ nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i. §©y lµ mét nguyªn lÝ c¬ b¶n cñac¬ häc l−îng tö. “NÕu c¸c hµm ψ1, ψ2,.. ., ψn lµ c¸c hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸i cña mét hÖ l−îngtö, th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng còng m« t¶ ®−îc tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö ®ã”. ψ = C1ψ1 + C2ψ2 +.. . + Cnψn : hµm tr¹ng th¸i (4.3) C1 , C2, .. . lµ nh÷ng hÖ sè tuú ý. Nguyªn lÝ chång chÊt ph¶n ¸nh tÝnh chÊt ®éc lËp cña mét tr¹ng th¸i nµy ®èi víimét tr¹ng thaÝ kh¸c.4.2. Tiªn ®Ò vÒ to¸n tö (tiªn ®Ò 2)4.2.1. Néi dung: T−¬ng øng víi mçi ®¹i l−îng vËt lÝ L cña hÖ l−îng tö ë tr¹ng th¸i ψth× cã mét to¸n tö Hermit L t−¬ng øng Gi÷a c¸c to¸n tö nµy cã c¸c hÖ thøc gièng nh− nh÷ng hÖ thøc ®¹i l−îng vËt lÝtrong c¬ häc cæ ®iÓn.4.2.2. Mét to¸n tö trong c¬ häc l−îng tö t−¬ng ®−¬ng víi mét ®¹i l−îng vËt lÝ trong c¬häc cæ ®iÓn a.To¸n tö to¹ ®é: x =x ˆ Mét c¸ch tæng qu¸t q (x,y,z) = q( x,y,z) ˆ b.To¸n tö xung l−îng (®éng l−îng) thµnh phÇn ℏ∂ ∂ px → p x = = − iℏ ˆ i ∂x ∂x ℏ∂ ∂ py → p y = = − iℏ ˆ i ∂y ∂y ℏ∂ ∂ pz → p z = = − iℏ ˆ i ∂z ∂z c. To¸n tö xung l−îng p = px + py + pz ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂ + + ) = −iℏ∇ p = -i ℏ ( ˆ ∂x ∂ y ∂ Z 33 d. To¸n tö b×nh ph−¬ng xung l−îng p 2 = p x + p 2 + p z2 = −ℏ 2 ∆ ˆ2 ˆy ˆ ˆ ...