Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 5

Trường xuyên tâm và nguyên tử hyđro. Một trường thế được gọi là trường xuyên tâm khi:- Mọi lực tác dụng lên hạt đều đi qua một điểm cố định gọi lμ tâm của trường và người ta lấy điểm này làm gốc toạ độ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 5 Ch−¬ng Ch−¬ng 5 Tr−êng Tr−êng xuyªn t©m vµ nguyªn tö hy®ro5.1.5.1. Tr−êng xuyªn t©m - HÖ to¹ ®é cÇu5.1.1. Tr−êng xuyªn t©m: Mét tr−êng thÕ ®−îc gäi lµ tr−êng xuyªn t©m khi: - Mäi lùc t¸c dông lªn h¹t ®Òu ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh gäi lµ t©m cña tr−êng vµng−êi ta lÊy ®iÓm nµy lµm gèc to¹ ®é. - Lùc ®ã chØ phô thuéc kho¶ng c¸ch R tõ t©m ®Õn h¹t chø kh«ng phô thuéc vµoph−¬ng cña vect¬ R, do ®ã U = U(r). VÝ dô: Tr−êng lùc cña h¹t nh©n ®èi víi electron lµ tr−êng xuyªn t©m. Ze 2 U=- r r5.1.2. To¹ ®é cÇu: V× tr−êng xuyªn t©m lµ tr−êng ®èi xøng cÇu, nªn c¸c bµi to¸n trong tr−êngxuyªn t©m ng−êi ta sö dông hÖ to¹ ®é cÇu. Gi÷a to¹ ®é Descartes vµ to¹ ®é cÇu cã mèiquan hÖ sau: r = OM (0 ≤ r ≤ ∞) θ = (OZ,OM) (0 ≤ θ ≤ π) ϕ = (OX,OM) ( 0 ≤ ϕ ≤ 2π) x = rsinθcosϕ y = rsinθsinϕ z = rcosθ ; r2 = x2 + y2 + z2 PhÇn thÓ tÝch dτ trong to¹ ®é cÇu cã d¹ng: dτ = r2 dr.sinθdθdϕ5.1.3. C¸c to¸n tö trong hÖ to¹ ®é cÇu 49 To¸n tö Laplace - 1 ∂ 2∂ 1 )+ 2 Λ ∆= (r r ∂r ∂r 2 r Λ: PhÇn phô thuéc gãc cña to¸n tö Laplace 1∂ ∂ ∂2 1 Λ= (sin θ )+ sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 To¸n tö m«men ®éng l−îng: - ∂ ∂ M x = iℏ (sin ϕ + ctgθ . cos ϕ ˆ ) ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ M y = −iℏ (cos ϕ − ctgθ . sin ϕ ˆ ) ∂θ ∂ϕ ∂ M z = −iℏ ˆ ∂ϕ M 2 = −ℏ 2 Λ ˆ Theo c¬ häc l−îng tö, khi h¹t chuyÓn ®éng trong tr−êng xuyªn t©m, gi÷a c¸cto¸n tö momen ®éng l−îng cã c¸c t−¬ng quan: [ M 2, M x ] = [ M 2, M y ] = [ M 2, M z ] = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1∂ ∂ 2 ℏ 1 [ 2 ( r 2 ) + 2 Λ] + U ˆ - To¸n tö Haminton: H = - 2m r ∂r ∂r r - Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho tr¹ng th¸i dõng trong tr−êng xuyªn t©m: H ψ(r, = E ψ (r, ˆ (5.1) θ, ϕ ) θ, ϕ ) 1 ∂ 2 ∂ψ 1 2m ) + 2 ∧ ψ + 2 ( E − U )ψ = 0 hay (5.2) (r r ∂r ∂r 2 ℏ r5.1.4. C¸c to¸n tö giao ho¸n trong tr−êng xuyªn t©m: Trong tr−êng xuyªn t©m c¸c to¸n tö H , M 2 vµ M z giao ho¸n víi nhau tõng ®«i ˆˆ ˆ 50mét: [ H , M 2] = [ H , M z] = [ M 2, M z] = 0. Do ®ã, c¸c trÞ riªng cña chóng E, M2, Mz ˆˆ ˆˆ ˆ ˆlµ ®ång thêi x¸c ®Þnh. Chóng cã chung hµm riªng vµ lËp thµnh mét hÖ to¸n tö ®Çy ®ñ,x¸c ®Þnh hoµn toµn hµm sãng cña hÖ.5.2. Bµi to¸n nguyªn tö hidro vµ ion gièng hidro Nguyªn tö hidro vµ ion gièng hidro nh− He+, Li2+ ... cã mét electron duy nhÊtchuyÓn ®éng trong tr−êng lùc cña h¹t nh©n víi ®iÖn tÝch d−¬ng +e (hay +Ze) cã thÕn¨ng U = -Ze2/r (r: kho¶ng c¸ch tõ electron ®Õn h¹t nh©n). So víi electrron, h¹t nh©n cã khèi l−îng rÊt lín vµ chuyÓn ®éng rÊt chËm, nªnmét c¸ch gÇn ®óng ng−êi ta xem nã ®øng yªn vµ ®Æt gèc to¹ ®é t¹i nh©n. Nh− vËy, bµito¸n nguyªn tö hidro vµ ion gièng hidro chuyÓn thµnh bµi to¸n xÐt chuyÓn ®éng cñaelectron trong tr−êng xuyªn t©m.5.2.1. Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cña nguyªn tö hidro 1 ∂ 2 ∂ψ 1 2m ) + 2 ∧ ψ + 2 ( E − U )ψ = 0 (5.2) (r r ∂r ∂r 2 ℏ r ViÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh Schrodiger chÝnh lµ ®i t×m gi¸ trÞ E vµ hµm ψ cña ph−¬ngtr×nh (5.2). ˆ ˆ Trong tr−êng xuyªn t©m, c¸c to¸n tö M 2 vµ M z giao ho¸n víi nhau vµ giao ˆho¸n víi to¸n tö H To¸n tö M z vµ M 2 cã hµm riªng chung lµ Y (θ,ϕ) ( hµm cÇu). ˆ ˆ ψ(r, θ, ϕ) lµ hµm riªng cña to¸n tö H . §Ó ψ(r, θ, ϕ) còng lµ hµm riªng cña M 2 vµ ˆ ˆ ...