Giáo trình học GIẢI TÍCH 1

Với mục đích ghi lại một vài thu hoạch sau một năm công tác dưới vai trò giảng viên tập sự tại Khoa Toán-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tác giả biên soạn tài liệu Bài giảng giải tích I. Tài liệu gồm nội dung lý thuyết và bài tập phục vụ cho việc giảng dạy học phần Giải tích I tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tác giả biên soạn tập tài liệu này trước hết với mục đích sử dụng làm giáo án giảng dạy, đồng thời cũng hy vọng có thể...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình học GIẢI TÍCH 1 Giáo trìnhGIẢI TÍCH 1PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GI I TÍCH I BÀI 1 (§1 − §5)• T ng quan• Phương pháp h c §1. Các t p h p s », », », » tv n•I. Sơ lư c v các y u t logic1. i u ki n c n và•P⇒Q•P⇔Q2. M nh tương ương P ⇔ Q3. Ch ng minh logica) Phương pháp b c c u: (P ⇒ Q, Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R) nh: (P ⇒ Q) ⇒ ( Q ⇒ P )b) Phương pháp phc) Phương pháp ch ra ph n ví d4. Phương pháp quy n p. C n ch ng minh m nh T(n) úng ∀ n ∈ »Gi s có +) T(1) úng +) T(k) úng ⇒ T(k + 1) úng, k ∈ » .Khi ó T(n) úng ∀ n ∈ » . 2  n ( n + 1)  3 3 3Ví d . 1 + 2 + ... + n =   , ∀ n ∈ ».   2II. Các t p h p s1. S c n thi t m r ng t p h p s » ⊂ » ⊂ » ⊂ » .2. H tiên c a t p h p s th ca) » (+, .): ∀a, b, c ∈ » có a + b ∈ » , a.b ∈ »giao hoán, k t h pb) ∀ a, b ∈ » ⇒ ∃! x ∈ » : a + x = b.c) ∀ a, b ∈ » , a ≠ 0 ⇒ ∃! x ∈ » : a.x = b.d) ∀ a, b ∈ » ⇒ a ≤ b ho c b ≤ aquan h th t có tính ch t ph n i x ng, b c c u. 1PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vne) Tiên supremum• ∅ ≠ A ⊂ » , A b ch n trên u có supremum ∈ »• ∅ ≠ A ⊂ » , A b c h n dư i u có infimum ∈ »Chú ýT trên nh n ư c các tính ch t ã bi t ph thông, ch ng h n• T/c Archimede: ∀ a, b ∈ » , a > 0 ⇒ ∃ n ∈ » : na > b.• » trù m t trong » : ∀ a, b ∈ » , a < b ⇒ ∃ r ∈ » : a < r < b. § 2. TR TUY T I VÀ CÁC TÍNH CH T tv n• a, a≥01. nh nghĩa. a =   −a, a 0 ⇔ −a < x < a.b) |x| > b, b > 0 ⇔ x > b ho c x < −b.c) |a + b| ≤ |a| + |b|d) |ab| = |a||b| a a = ,b≠0e) b b § 3 HÀM S tv n•1. nh nghĩa. X ⊂ » , tương ng f: X → » là hàm s n u tho mãn:+) ∀x ∈ X ⇒ f(x) ∈ »+) x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)Khi ó X là t p xác nh, còn {f(x), x ∈ X} là t p giá tr .Ví d 1. M t tên l a phóng th ng lên t m t t v i v n t c ban u là 128ft/s. Tên l a này chuy n ng lên ho c xu ng theo ư ng th ng. B ng th c nghi m, cao c a tên l a ư c cho 2b i công th c f(t) = 128t − 16tVí d 2. x → x 2 + y 2 = 1 xVí d 3. Tìm t p xác nh y = cos π xVí d 4. Tìm t p giá tr y = sin x + cos x 2PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  1Ví d 5. Tìm f(x) bi t f   = x + 1 + x 2 , x > 0. x2. M t s khái ni ma) th c a hàm y = f(x) là {(x, f(x)), x ∈ TX }b) y = f(x) ch n ⇔ ∀ x ∈ MX có f(x) = f(−x)Ví d . y = 3 (1 − x ) + 3 (1 + x )c) y = f(x) l ⇔ ∀ x ∈ MX có f(x) = −f(−x)Ví d . y = ax − a−x, a > 0.d) Hàm y = f(x) tu n hoàn ⇔ ∃ T ≠ 0: f(x + T) = f(x), ∀ x ∈ TX .S T > 0 bé nh t f(x + T) = f(x), ∀ x ư c g i là chu kì.Ví d . y = tan x ) Hàm h p: y = f(x), x = ϕ(t), có hàm h p y = f οϕ ≡ f(ϕ(t)) X, TGT: Y có hàm ngư c x = ϕ(y)e) Hàm ngư c: y = f(x), TX +) (f οϕ)(y) = y, ∀ y ∈ Y⇔ +) (ϕ ο f)(x) = x, ∀ x ∈ XVí d . y = 1 − x 2 v i −1 ≤ x ≤ 0, có x = − 1 − y 2 , y ∈ [0 ; 1] § 4. HÀM S SƠ C P1. nh nghĩa. Các hàm s sơ c p cơ b n là xα, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, vàcác hàm lư ng giác ngư c.2. Các hàm s sơ c p cơ b na) y = xα, TX : ph thu c α, ∋ (1 ; 1), ∀ α. thb) y = ax, 0 < a ≠ 1, TX : » , TGT: y > 0, ng bi n khi a > 1, ngh ch bi n khi a < 1 ax + y =ax ay , ax − y = ax / a yc) y = logax, 0 < a ≠ 1, TX : x > 0, TGT: » , ng bi n khi a > 1, ngh ch bi n khi a < 1 xlogaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x| − loga|y|, logaxα = α loga|x|; yy = logax có hàm ngư c là x = ay.d) Các hàm lư ng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.e) Các hàm lư ng giác ngư c  π π+) y = arcsinx: [−1 ; 1] →  − ;  là hàm ngư c c a hàm y = sin x  2 2+) y = arccosx: [−1 ; 1] → [0 ; π] là hàm ngư c c a hàm y = cosx 3PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  π π+) y = arctanx: (−∞ ; ∞) →  − ;  là hàm ngư c c a hàm y = tan x  2 2+) y = arccotx : (−∞ ; ∞) → (0 ; π) là hàm ngư c c a hàm y = cotx3. Hàm s sơ c p nh nghĩa. T o nên t các hàm s sơ c p cơ b n b i s h u h n các phép t ng,hi u, tích, thương, phép l y hàm h p và các h ng sVí d 1. y = 3 x+sinxVí d 2. y = |x| x sin t ∫Ví d 3. y = dt . t 0 § 5. DÃY S tv n•1. nh nghĩa. x1, x2, ..., xn, ..., xi ∈ » .2. Gi i h n.a) nh nghĩalim xn = a, a ∈ » ⇔ ∀ ε ≥ 0, bé tuỳ ý, ∃ N(ε): ∀ n > N(ε) thì có |xn − a| < ε.n →∞ nh nghĩa.Khi lim xn = ∞ ⇔ ∀ M > 0, l n tuỳ ý, ∃ N: ∀ n > N có |xn| > M, ta nói dãy s phân kì n →∞b) Tính ch t1°) lim xn = a , a > p (a < p) ⇒ ∃N: ∀n > N có xn > p (xn < p) n →∞2°) lim xn = a , xn ≤ p (xn ...