Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Phần 2

Nối tiếp phần 1 của cuốn sách "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" phần 2 sẽ giới thiệu tới các bạn các nội dung cơ bản sau:Hội tụ ngẫu nhiên, thống kê mô tả, lý thuyết ước lượng. Mong rằng tài liệu sẽ hỗ trợ các bạn các thông tin liên quan đến xác suất thống kê và toán học. Cùng tham khảo để nắm bắt nội dung thông tin vấn đề.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Phần 2 CHƯƠNG 4 HỘI TỤ NGẪU NHIÊNI. HỘI TỤ XÁC SUẤT1. Khái niệm hội tụ xác suất.• ðịnh nghĩa. Cho X là biến ngẫu nhiên và (Xn)n≥ 1 là dãy biến ngẫu nhiên trên khônggian xác suất (Ω, B, P). Ta nói rằng (Xn)n≥ 1 hội tụ xác suất ñến X, ký hiệu P Xn → X n→∞nếu ∀ ε > 0, P(|Xn − X| ≥ ε) → 0 khi n → ∞⇔ ∀ ε > 0, P(|Xn − X| < ε) → 1 khi n → ∞+ Ví dụ. Người ta cho vô số quả cầu vào 3 thùng với xác suất như nhau. Với mọi n >0, gọi Yn là tần số và Xn là tần suất quả cầu rơi vào thùng thứ nhất trong số n quảcầu thả vào ba thùng. Chứng minh rằng P 1 Xn → n→∞ 3Giải. Với mọi n > 0, Yn có phân phối nhị thức B(n,1/3) với 1 2 E(Yn) = n. và D(Yn) = n. 3 9 Với ε > 0 bất kỳ ta có     ∑ P(Y = k) 1 1 P X n − ≥ ε  = P Yn − n. ≥ n.ε  = n ≤  3   3  n k − ≥ n .ε 3 2  n k −  1 n  n 2 ≤ ∑  3  P(Yn = k ) ≤ ∑  k − 3  P(Yn = k )  n.ε  k − ≥ n.ε  (n.ε ) 2 k = 0  n  3   1 2 = D (Yn ) = (n.ε ) 2 9.n.ε 2Từ ñó suy ra  1  P 1 P X n − ≥ ε  n → 0 →∞ ⇒ Xn → n→∞  3  3+ Ví dụ 2. Cho dãy biến ngẫu nhiên (Xn)n≥ 1, λ > 0, Xn có phân phối mũ E(n.λ) với Pmọi n ≥ 1. Chứng minh rằng X n → 0 . n→∞Giải. Với ε > 0 bất kỳ ta có ∞ [ P( X n − 0 ≥ ε ) = ∫ n.λ .e − n.λ .t dt = − e − n.λ .t ] ∞ ε = e − n.λ .ε εTừ ñó suy ra P( X n − 0 ≥ ε ) n P → 0 →∞ ⇒ Xn → 0 n→∞2. Bất ñẳng thức Trebưsep. Cho biến ngẫu nhiên X có phương sai D(X). Khi ñó D( X ) ∀ ε > 0, P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ ε2CM. (i) Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc với luật phân phối ...