Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị: Phần 2 - Trường ĐH Tài chính Marketing

Tiếp tục nội dung phần 1, Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế; Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh; Mô hình cực trị không có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến trong kinh tế; Mô hình cực trị có điều kiện ràng buộc nhiều biến trong kinh tế.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị: Phần 2 - Trường ĐH Tài chính Marketing Chương 3 Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh 3.1. Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 3.1.1. Hàm sản suất Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu vào quan trọng là vốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hiệu là K và L. Do đó, hàm sản xuất có dạng: Q = f ( K, L ) . Ý nghĩa. Hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá vào hai yếu tố đầu vào vốn (tư bản) và lao động. Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử dụng là hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có dạng: Q = aK α Lβ Trong đó: a, α, β là các hằng số dương. 3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận 3.1.2.1 Hàm chi phí +) Hàm chi phí phụ thuộc đầu vào: TC = TC ( K, L ) . Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố sản xuất và có dạng: TC ( K, L ) = p K K + p L L + C0 . Trong đó: p K : Giá thuê một đơn vị vốn (tư bản). p L : Giá thuê một đơn vị lao động. C0 : Chi phí cố định. +) Hàm chi phí kết hợp: TC = TC ( Q1 , Q 2 ) . Trong đó Q1 : Số đơn vị hàng hóa 1; 79 Q 2 : Số đơn vị hàng hóa 2. 3.1.2.2. Hàm doanh thu và hàm lợi nhuận +) Nếu doanh nghiệp là doanh nghiệp cạnh tranh thì tổng doanh thu của doanh nghiệp phụ thuộc vào K, L và có dạng: TR = P ⋅ f ( K, L ) = TR ( K, L ) ( P : là giá sản phẩm) +) Hàm doanh thu gộp: TR = TR 1 + TR 2 = P1.Q1 + P2 .Q 2 = TR ( Q1 , Q 2 ) Với P1 : là giá sản phẩm mặt hàng 1, P2 : là giá sản phẩm mặt hàng 2. 3.1.2.3. Hàm lợi nhuận Hàm lợi nhuận: π = TR − TC +) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu vào π = P.f ( K, L ) − ( p k K + p L L + C0 ) = π ( K, L ) +) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu ra π ( Q1 , Q 2 ) = TR ( Q1 , Q 2 ) − TC ( Q1 , Q 2 ) . 3.1.3. Hàm lợi ích Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có n mặt hàng. Mỗi giỏ hàng là một bộ gồm n số thực X = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , trong đó x1 là lượng hàng hoá T1 , x 2 là lượng hàng hoá T2 ,..., x n là lượng hàng hoá Tn . Hàm lợi ích là hàm số đặt tương ứng với mỗi túi hàng X = ( x1 , x 2 ,..., x n ) với một giá trị U nhất định theo quy tắc: Giỏ hàng nào được ưa chuộng nhiều hơn thì gán giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi ích có dạng tổng quát như sau: U = U ( x1 , x 2 ,..., x n ) Hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb – Douglas: U = ax1α1 x α2 2 ...x αn n (α1 , α 2 ,..., α n là các hằng số dương). 3.1.4. Điểm cân bằng +) Mức thu nhập quốc dân cân bằng Y phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G 0 , lượng đầu tư I0 và xuất khẩu X 0 : Y = f ( G 0 , I0 , X 0 ) . +) Mức lãi suất cân bằng r phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G 0 và lượng cung tiền M0 : 80 r = g ( G 0 , M0 ) . 3.1.5. Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan Mức cung và mức cầu đối với một loại hàng hoá trên thị trường không những chỉ phụ thuộc vào giá hàng hoá đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hoá liên quan và thu nhập của người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hoá liên quan hàm cung và hàm cầu đối với hàng hoá i có dạng (giả thiết thu nhập không thay đổi): QSi = Si ( P1 , P2 ,..., Pn ) QDi = Di ( P1 , P2 ,..., Pn ) Trong đó, Q Si là lượng cung hàng hoá i, Q Di là lượng cầu hàng hoá i, Pi là giá của hàng hoá i ( i = 1, 2, 3,..., n ) . Ví dụ 1. Cho các hàm cầu: Q1 = 40 − P1 ; Q2 = 30 − 0,5P2 . Hãy lập hàm doanh thu. Giải Từ hai hàm cầu thuận ta suy ra hai hàm cầu đảo như sau: P1 = 40 − Q1 ; P2 = 60 − 2Q2 Hàm doanh thu gộp TR ( Q1 ,Q 2 ) = P1Q1 + P2Q 2 = (40 − Q1 )Q1 + (60 − 2Q 2 )Q 2 hay TR ( Q1 ,Q 2 ) = −Q12 − 2Q 22 + 40Q1 + 60Q 2 Ví dụ 2. Cho hàm sản xuất: Q ( K, L ) =10K 0,3L0,4 . Giá thuê một đơn vị vốn p K = 3 USD, giá thuê một đơn vị lao động p L = 2 USD và giá sản phẩm là P = 4 USD. Hãy lập hàm lợi nhuận. Giải Hàm doanh thu: TR ( K, L ) = PQ = 40K 0,3L0,4 Hàm chi phí : TC ( K, L ) = p K K + p L L = 3K + 2L Hàm lợi nhuận: π ( K, L ) = TR ( K, L ) − TC ( K, L ) = 40K 0,3L0,4 − 3K − 2L. 81 3.2. Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh 3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên Xét mô hình hàm kinh tế: w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) trong đó x1 , x 2 ,..., x n , w là các biến kinh tế. Đạo hàm riêng của hàm số w theo biến x i tại điểm X ( x1 , x 2 ,..., x n ) được gọi là giá trị cận biên của hàm w theo biến x i tại điểm đó. Nghĩa là, w /x i ( x1 , x 2 ,..., x n ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị x i thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi. 3.2.1.1. Hàm sản xuất: Q = f ( K, L ) Có các đạo hàm riêng: ∂Q ∂Q Q K/ = ; Q L/ = ∂K ∂L được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của vốn (tư bản) (ký hiệu: MPK ) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (ký hiệu: MPL ) tại điểm ( K, L ) . Ý nghĩa của các đạo hàm riêng +) Q K/ = f K/ ( K, L ) : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị vốn (tư bản) và giữ nguyên mức sử dụng lao động. +) Q L/ = f L/ ( K ...