Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Bài viết nghiên cứu và mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuối cùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trong chứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụngTAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 22 (47) - Thaùng 11/2016 Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng Lower limit and upper limit of array of random variables and their applications TS. Dương Xuân Giáp, Trường Đại học Vinh ThS. Ngô Hà Châu Loan ThS. Bùi Đình Thắng Trường Đại học Kinh tế Nghệ An Tôn Nữ Minh Ngọc, Sinh viên Trường Đại học Vinh Duong Xuan Giap, Ph.D., Vinh University Ngo Ha Chau Loan, M.Sc. Bui Dinh Thang, M.Sc. Nghe An College of Economics Ton Nu Minh Ngoc, Student of Vinh UniversityTóm tắtTrong bài báo này, chúng tôi đưa ra khái niệm giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫunhiên cho hai trường hợp: max hoặc min các tọa độ tiến tới vô cùng. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu vàmở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuốicùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phépbiến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trongchứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco.Từ khóa: giới hạn dưới, giới hạn trên, biến ngẫu nhiên, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue,định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn.AbstractIn this paper, we introduce the concepts of lower limit and upper limit of array of random variables fortwo cases: max of indicators tends to infinity, and min of indicators tends to infinity. Thereby, we studyand extend some properties of lower limit and upper limit to the multidimensional array case. Finally,we obtain some of their applications in proving multidimensional Birkhoff’s ergodic theorem, inproving strong law of large numbers for array of - exchangeable random elements, and in proving“ limsup ” part of Mosco convergence.Keywords: lower limit, upper limit, random variable, Fatou’s lemma, Lebesgue’sbounded convergence theorem, Birkhoff’s ergodic theorem, the law of large numbers. 73 1. Phần mở đầu Bổ đề 2.2. (xem [10]) Họ các biến Giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy ngẫu nhiên là khả tích đều khicác số thực là một khái niệm có vai trò và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn:quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc ,biệt là trong các định lý giới hạn. Dựa vàocác khái niệm này, ta có Bổ đề Fatou và với mọi , tồn tại saoứng dụng để chứng minh định lý hội tụ bị cho với mọi , thìchặn Lebesgue, định lý hội tụ đơn điệu, cáctính chất khả tích đều, định lý ergodicBirkhoff, luật số lớn và chiều “ limsup ” Định nghĩa 2.3. Họ các phần tử ngẫucủa hội tụ Mosco trong xác suất đa trị, ... nhiên được gọi là khả tích đều Khi nghiên cứu các định lý giới hạn nếu họ các biến ngẫu nhiêntrong lý thuyết xác suất cho cấu trúc nhiều là khả tích đều.chỉ số, việc xây dựng khái niệm và nghiên Bổ đề 2.4. (Định lý hội tụ đơn điệu,cứu tính chất của giới hạn dưới, giới hạn xem [1]) Nếu dãy các biến ngẫu nhiêntrên đối với mảng các biến ngẫu nhiên không âm thỏa mãnđóng một vai trò hết sức quan trọng. khi (X là một biến ngẫu 2. Kiến thức chuẩn bị nhiên) thì khi . Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn Định nghĩa 2.5. Mảng các phần tửgiả thiết rằng là một không gian ngẫu nhiên được gọi là 2-xác suất, là không gian Banach thực, khả hoán đổi được nếu với mọi ,ly và là không gian đối ngẫu của . Ký và mọi ,hiệu là -đại số Borel trên . Ký hiệu (tương ứng, ) là tập tất cả các số thực Định nghĩa 2.6. ([9]) Một phép biến(tương ứng, tập tất cả các số tự nhiên). đổi được gọi là đo được nếu Giả sử , ta , với mọi .ký hiệu Một phép biến đổivà . được gọi là bảo toàn độ đo nếu T là đoVới , ta viết (tương được và đồng thời ...