HAI BÀI TOÁN CƠ SỞ MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN_Vũ Văn Bắc

Bài toán này thực ra là một bài trong kì thi OLP Toán Quốc Tế. Sau đó không lâu thì trên Tạp chí toán học và tuổi trẻ cũng đã đăng bài toán trên. Về lời giải cảu bài toán trên xin dành cho bạn đọc. Các bạn có thể tìm lời giải bài toán trong cuốn Nâng cao và phát triển toán 9 của tác giả Vũ Hữu Bình. Có một vài hướng như sau :  Vẽ hình bình hành AKIP với lưu ý khi dựng hình như vậy thì nó trở thành hình thoi....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HAI BÀI TOÁN CƠ SỞ MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN_Vũ Văn Bắc HAI BÀI TOÁN CƠ SỞ MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN HAI BÀI TOÁN CƠ SỞ MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN Thực Hiện Vũ Văn Bắc Bài toán 1. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Chứng minh rằng a.IA2  b.IB 2  c.IC 2  abc Bài toán này thực ra là một bài trong kì thi OLP Toán Quốc Tế. Sau đó không lâu thì trên Tạp chí toán học và tuổi trẻ cũng đã đăng bài toán trên. Về lời giải cảu bài toán trên xin dành cho bạn đọc. Các bạn có thể tìm lời giải bài toán trong cuốn Nâng cao và phát triển toán 9 của tác giả Vũ Hữu Bình. Có một vài hướng như sau :  Vẽ hình bình hành AKIP với lưu ý khi dựng hình như vậy thì nó trở thành hình thoi.  Tính trực tiếp các đại lượng theo các cạnh của tam giác rồi sau đó rút gọn. Bài toán 2. Cho tam giác ABC có trực tâm là H. Chứng minh rằng a.HB.HC  b.HC.HA  c.HA.HB  abc Bài này ta quy về việc chứng minh hệ thức : HA.HB HB.HC HC.HA   1 ab bc ca Và sau đó dùng tỉ số diện tích ta được điều phải chứng minh. Từ bài toán 1 và bài toán 2 ta có ngay kết quả sau : a.IA2  b.IB 2  c.IC 2  a.HB.HC  b.HC.HA  c.HA.HB Mấu chốt là ta cần phải thiết lập được đẳng thức trên. Khi đó theo bất đẳng thức Cauchuy ta có ngay : 2  a.IA2  b.IB 2  c.IC 2   a  HB 2  HC 2   b  HC 2  HA2   c  HA2  HB 2   a  HA2  2IA2   b  HB 2  2IB 2   c  HC 2  2IC 2    a  b  c   HA2  HB 2  HC 2  Ta chứng minh được : 3  x2  y 2  z 2    x  y  z  với mọi số thực x, y, z. 2  a  HA  2IA  b  HB  2IB   c  HC  2IC   3  a  b  c   HA2  HB 2  HC 2  2 2 2  a  b  c   HA2  HB 2  HC 2    HA  2 IA a   HB  2IB  b   HC  2IC  c  3  a  b  c   HA2  HB 2  HC 2  1    HA  2 IA a   HB  2 IB  b   HC  2 IC  3 c Bài toán 3. Tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp là I. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau  a  b  c   HA2  HB 2  HC 2  P  HA  2 IA a   HB  2 IB  b   HC  2IC  c