Hạt trong hộp ba chiều

Hiện tượng suy biến của các mức năng lượng là một hiện tượng khá phổ biến đối với các hệ vi mô. Chúng ta sẽ bước đầu tìm hiểu hiện tượng này thông qua việc khảo sát năng lượng của hạt chuyển động trong không gian ba chiều
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hạt trong hộp ba chiều H t trong h p ba chi u − s suy bi n Lý Lê Ngày 27 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hi n tư ng suy bi n c a các m c năng lư ng là m t hi n tư ng khá ph bi n đ i v i các h vi mô. Chúng ta s bư c đ u tìm hi u hi n tư ng này thông qua vi c kh o sát năng lư ng c a h t chuy n đ ng trong không gian ba chi u. T k t qu bài toán h t trong h p ch nh t, chúng ta s tính các giá tr trung bình như v trí và đ ng lư ng c a h t.1 Phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong o không gian ba chi uPhương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, trong okhông gian m t chi u đư c vi t như sau H ψ (x) = Eψ (x) (1)v i E là năng lư ng; H là toán t Hamiltonian 2 d2 H = Tx + V (x) = − + V (x) (2) 2m dx2Trong (2), toán t Tx là toán t đ ng năng; V (x) là toán t th năng. Trong không gian ba chi u, đ ng năng cũng như th năng c a h phthu c vào c ba thành ph n t a đ x, y, z V = V (x, y, z ) (3) 2 ∂2 ∂2 ∂2 T = Tx + Ty + Tz = − + 2+ 2 (4) 2m ∂x2 ∂y ∂zDo đó, phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, otrong không gian ba chi u có d ng 2 ∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 + V (x, y, z ) ψ (x, y, z ) = Eψ (x, y, z ) (5) 2m ∂x2 ∂y ∂z 1Trong (5), toán t ∂2 ∂2 ∂2 2 ≡ + 2+ 2 (6) ∂x2 ∂y ∂zđư c g i là toán t Laplacian ( 2 − del bình phương ). Như v y, phươngtrình Schr¨dinger (5) có th đư c vi t g n hơn như sau o 2 2 − + V (x, y, z ) ψ (x, y, z ) = Eψ (x, y, z ) (7) 2m N u h g m n h t thì đ ng năng c a h b ng t ng đ ng năng c a cách t trong h . Do đó, ta có n n 2 2 Ti = − T= (8) i 2mi i=1 i=1Th năng là hàm ph thu c vào t a đ c a các h t trong h V = V (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = V (q1 , . . . , qn ) (9)Hàm tr ng thái c a h cũng s ph thu c vào t a đ c a t t c các h ttrong h ψ = ψ (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = ψ (q1 , . . . , qn ) (10)Như v y, đ i v i h nhi u h t, trong không gian ba chi u, phương trìnhSchr¨dinger không ph thu c th i gian là o n 2 2 + V (q1 , . . . , qn ) ψ (q1 , . . . , qn ) = Eψ (q1 , . . . , qn ) (11) i 2mi i=1 Ví d , phương trình Schr¨dinger cho m t h g m hai h t chuy n đ ng ovà tương tác v i nhau, trong không gian ba chi u đư c vi t như sau 2 2 2 2 + + V (q1 , q2 ) ψ (q1 , q2 ) = Eψ (q1 , q2 ) 1 2 2m1 2m2Trong đó q1 = x1 , y1 , z1 và q2 = x2 , y2 , z2 là t a đ c a h t th nh t và h tth hai.2 H t trong h p ba chi u   0H p mà chúng ta s xét đ n là h p ch nh t v i đ dài các c nh là a, b, vàc. H t a đ đư c ch n sao cho m t trong các đ nh c a h p n m t i g c t ađ và các tr c x, y, z là ba trong s 12 c nh c a h p. Th năng bên trongh p là zero; ngoài h p là vô cùng. V i đi u ki n như trên, ta k t lu n r ng hàm sóng b ng zero bên ngoàih p. Bên trong h p, toán t th năng b ng zero, nên phương trình sóngSchr¨dinger không ph thu c th i gian s là o 2 ∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 ...