Hệ phương trình tuyến tính

Tài liệu tham khảo và Hướng dẫn học bài Hệ phương trình tuyến tính
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ phương trình tuyến tínhHướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính . Thái Minh Hướng dẫn học bài : Hệ phương trình tuyến tínhHoạt động 1: Giải hệ phương trình sau:Cách 1: Dùng định thức: ( Cái này đã biết hồi học lớp 10 rồi đấy !) a11 x1 + a12 x 2 = b1  (1) a 21 x1 + a 22 x 2 = b2Cách 2:- Nhớ rằng khi nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0 tađược một phương trình mới tương đương. Hãy nhân hai vế phương trình thứ nhất với -a21 ; nhân hai vế của phươngtrình thứ hai với a11 Rồi cộng vế với vế hai phương trình cho nhau, ta đượchệ mới tương đương với hệ cũ. Viết hệ mới ? - Hãy tìm cách vận dụng hai cách giải trên cho hệ phương trình sau đây:  x1 + x 2 + 2 x3 = 1   x1 + 2 x 2 + x3 = 1 2 x + x + x = 1  1 2 3Hoạt động 2: Tiếp thu các khái niệmI. Hệ phương trình tuyến tính:1.Định nghĩa: Hệ phương trình với m phương trình, n ẩn số có dạng:a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = b1a x + a x + .... + a x = b 21 2 22 2 2n n 2........................................... (1)ai1 x1 + ai 2 x 2 + ..... + a in x n = bi...................................a m1 x1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = bm n gọn hơn: ∑a j =1 ij x j = bi ; i=1,2,..mTrong đó các aij ; bi là các số thực; bi gọi là hạng tử tự do i:=1;2;…;m j:=1;2;…;n x1; x2;….;xn là các ẩnĐược gọi là hệ phương trình tuyến tínhBộ số: x1= c1; x2 = c2;….xn = cn là nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm của cácphương trình trong hệ. Giải hệ (1) là đi tìm các nghiệm của nó. -1-Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính . Thái Minh  a11 a12 ... a1n −1 a1n  a a 22 ... a 2 n −1 a2n   21   ... ... ... ... ... Ma trận: A =  a   i1 ai 2 ... ain −1 ain   ... ... ... ... ...    a m1  am2 ... a mn −1 a mn  gọi là ma trân các hệ số của hệ (1)Ma trận :  a11 a12 ... a1n −1 a1n b1  a a 22 ... a 2 n −1 a2n b2   21   ... ... ... ... ... ...  B =a   i1 ai 2 ... ain −1 a in bi   ... ... ... ... ... ...    a m1  am2 ... a mn −1 a mn bm Gọi là ma trận bổ sung của hệ (1)  x1   b1    B =  ... Với: X =  ...     xn    bm  hệ (1) viết dạng ma trận: A.X = B Em hãy lấy 1 ví dụ về hệ phương trình tuyến tính và chỉ rõ ma trận các hệsố ; ma trận bổ sung và tìm hạng của các ma trận đó . ( sau đó trao đổi vớibạn bên cạnh để tư vấn cho nhau ! )II. Hệ phương trình Crame:1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trinh, n ẩn sốvà có định thức của ma trân các hệ số khác không. Được gọi là hệ phươngtrình Crame.2.Định lý: Hệ phương trình Crame luôn có nghiệm duy nhất Dj .xj = với j = 1,2…,n; D = A ; Dj thu được từ D bằng cách thay cột D j bởi cột các hạng tử tự do bi 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình:  x1 + x 2 + ax3 = 1   x1 + ax 2 + ax3 = 1 với a là tham số ax + x + x = 1  1 2 3 - Tìm a để hệ là hệ Crame - Giải hệ khi hệ là hệ Crame -2-Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính . Thái MinhHoạt động 3 :III. Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát:Cho hệ phương trình :  x1 + 2 x 2 − 3 x3 + x 4 = 7  2 x1 + 4 x 2 + 5 x3 − x 4 = 2 - Tìm hạng của ma trận hệ số A và hạng của ma trận bổ sung B so sánh r(A); r(B) - Giải hệ phương trình ( nếu có thể - lưu ý rằng hệ có thể có nghiệm phụ thuộc vào các tham số nào đo !!)1. Định lý: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi ρ (A) = ρ (B)2. Cách giải:a. Dùng định lý: r ( A) ≠ r ( B ) hê vo nghiêm - Tìm r(A); r(B)  r ( A) = r ( B) có nghiêm - Hệ đã cho tương đương với hệ gồm r phương trình có chứa các hệsố là các phần tử của định thức con cấp r khác không có trong các ma trậnA và B. Giữ ở vế trái các hạng tử có hệ số là các phần tử của định thức nóitrên, đồng thời chuyển các hạng tử còn lại sang vế phải và gán cho nó cácgiá trị bằng tham số . - Hệ trở thành hệ Crame phụ thuộc mấy tham số ? Hãy giải tiếp !  x1 − x 2 + x3 − x 4 = 4 3 x + x − 3x + x = −2  1 2 3 4Ví dụ:  2 x1 − 2 x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 3 6 x1 + 2 x 2 − 6 x3 + 2 x 4 = −4 b. Dùng phương pháp Gauss ( biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận bổsung B) ( Thực ra chẳng có gì là “ghê gớm “ vì đều là những gì đã biết từthủa lớp 8; 9 ) * Nhưng mà hay thi đấy ! - Viết ma trận bổ sung của hệ - Nhân các hàng với một số phù hợp để khi cộng hàng với hàng thì làmcho ma trận B về dạng tam giác trên ( người ta gọi là ...