Hệ phương trình vi phân

Tham khảo bài thuyết trình hệ phương trình vi phân, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ phương trình vi phân Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệmĐưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng Ngày 8 tháng 3 năm 2011 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tậpĐịnh nghĩa Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:  d y1 = f1 (x, y1 , ..., yn )   dx   ................................ (1)  d yn = fn (x, y1 , ..., yn )    dx trong đó x là biến số độc lập, y1 , y2 , ..., yn là các hàm số phải tìm. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tậpĐịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho hệ phương trình vi phân (1). Giả sử các hàm số fi (x, y1 , ..., yn ) cùng với các đạo hàm riêng ∂fi (x, y1 , ..., yn ) , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n, liên tục trong một miền D ∂yj trong R n+1 . Giả sử x0 , y10 , y20 , ..., yn0 là một điểm thuộc D. Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 có một nghiệm duy nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện y1 x=x0 = y10 , y2 x=x0 = y20 , ..., yn x=x0 = yn0 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tậpCác loại nghiệm của hệ chuẩn tắc Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số yi = ϕi (x, C1 , C2 , ..., Cn ) , i = 1, 2, ..., n trong đó C1 , C2 , ..., Cn là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: 1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C1 , C2 , ..., Cn ; 2, Với mọi điểm x0 , y10 , y20 , ..., yn0 ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trị C1 = C10 , C2 = C20 , ..., Cn = Cn0 sao cho các hàm số yi = ϕi (x, C1 , C2 , ..., Cn ) thỏa mãn các điều kiện ban đầu yi |x=x0 = yi0 , i = 1, 2, ..., n Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C1 , C2 , ..., Cn trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C1 = C10 ; C2 = C20 ; ..., Cn = Cn0 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tậpPhương pháp khử Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách khử những hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ. Giải phương trình vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 0 y = 5y + 4z z 0 = 4y + 5z Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y 00 = 5y 0 + 4z 0 Thay z 0 bởi vế phải của phương trình sau, ta được y 00 = 5y 0 + 16y + 20z 1 Từ phương trình đầu suy ra z = (y 0 − 5y ). Thế vào phương trình trên 4 ta được y 00 − 10y 0 + 9y = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = C1 e x + C2 e 9x . Tính y 0 rồi thế vào phương trình đầu ta được z = −C1 e x + C2 e 9x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tậpPhương pháp khử   dx = y  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình dt  dy = x   dt  dx = 3x − 2y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình dt  dy = 2x − y  dt ...