Hướng dẫn giải bài tập Hình Học Vi Phân

Ta có |f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) − ∆(∆x, ∆y)| lim (∆x,∆y)→0 (∆x, ∆y) | sin(a + ∆x) − sin a − cos a.∆x| = lim (∆x,∆y)→0 ∆x2 + ∆y 2 |2 cos 2a+∆x sin ∆x − cos a.∆x| 2 2 = lim (∆x,∆y)→0 ∆x2 + ∆y 2 | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 = lim . ∆x→0 2 2 ∆x + ∆y Ta l i có | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 2 0≤ ≤ |∆x| 2 2 ∆x + ∆y Ta...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hướng dẫn giải bài tập Hình Học Vi Phân 1HƯ NG D N GI I BÀI T P HƯ NG D N GI I BÀI T PBÀI T P CHƯƠNG 1Bài t p 1.1. Ta có |f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b) − ∆(∆x, ∆y )| lim (∆x, ∆y ) (∆x,∆y )→0 | sin(a + ∆x) − sin a − cos a.∆x| = lim (∆x,∆y )→0 ∆x2 + ∆y 2 |2 cos 2a+∆x sin ∆x − cos a.∆x| 2 2 = lim (∆x,∆y )→0 ∆x2 + ∆y 2 | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 = lim . ∆x→0 2 2 ∆x + ∆y Ta l i có | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 2 0≤ ≤ |∆x| 2 2 ∆x + ∆y Ta có đánh giá | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 lim |∆x| ∆x→0 2a + ∆x − cos a = 0 = lim cos 2 ∆x→0 | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 ⇒ lim =0 ∆x→0 2 2 ∆x + ∆y ⇒ Df (a, b) = 0.Bài t p 1.2. Đ ch ng minh f kh vi t i x = 0 ta c n ch ra t n t i m t ánhx tuy n tính đi t Rn vào R th a gi thi t. Th t v y, xét ánh x tuy n tính O : Rn → R. Do hàm f th a: 2 |f (0)| ≤ 0 = 0 ⇒ f (0) = 0.nên ta có 2 |f (0 + h) − f (0) − O(h)| |f (x)| h ≤ = =h h h hnên |f (0 + h) − f (0) − O(h)| lim = lim h = 0. h h→0 h→02 Hư ng d n gi i bài t p chương 1 V y f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0.Bài t p 1.3. x, y ) − f (x, y ) f (x + (a) D1 f (x, y ) = lim x x→0 x, 0) − f (0, 0) x.0 − 0 f (0 + D1 f (0, 0) = lim = lim = 0. x x x→0 x→0 Tương t : y ) − f (x, y ) f (x, y + + D2 f (x, y ) = lim y y →0 y ) − f (0, 0) f (0, 0 + ⇒ D2 f (0, 0) = lim = 0. y y →0 (b) Gi s f kh vi t i (0, 0) ⇒ Df (0, 0) = (0, 0). Ta có: |f (0 + y ) − f (0, 0) − (Df (0, 0)( x, y ))| x, 0 + lim =0 ( x)2 + ( y )2 ( x, y )→(0,0) |f ( x, y )| ⇔ lim =0 ( x)2 + ( y )2 ( x, y )→(0,0) x| y | ⇔ lim = 0. (1) ( x)2 + ( y )2 ( x, y )→(0,0) x= y > 0. Ch n Suy ra: ( x)2 x| y | 1 lim = lim = = 0 (>< (1)). x→0 2( x)2 ( x)2 + ( y )2 2 ( x, y )→(0,0) V y f không kh vi t i (0, 0).Bài t p 1.4. ∂ f ∂f ∂f = y .xy−1 (lnx).xy 0 (a) f (x, y, z ) = ∂x ∂y ∂z y (b) Đ t f1 = x , f2 = 0.   ∂f1 ∂f1 ∂f1   y.xy−1 (lnx).xy 0  ∂x ∂y ∂z  =⇒ f (x, y, z ) =  =     ∂f2 ∂f2 ∂f2  0 0 0 ∂x ∂y ∂z (c) ∂ f ∂f ∂f f (x, y, z ) = ∂x ∂y ∂z = sin y. cos(x. sin y ) x. cos y cos(x. sin y ) ...