Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

Trong bài báo này trình bày chi tiết kết quả cải tỉến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa với mục đích tăng tốc độ hội tụ của phương pháp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòaT¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008KÕt qu¶ c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßaVò Vinh Quang – Tr−¬ng Hµ H¶i (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn)Më ®ÇuPh−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ® ®−îc mét sè t¸c gi¶ trªn thÕ giíivµ trong n−íc quan t©m. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn®èi víi c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®Ò xuÊt s¬ ®å chia miÒn gi¶i bµi to¸nsong ®iÒu hoµ, c¸c kÕt qu¶ nµy ® ®−îc chøng minh chÆt chÏ b»ng lý thuyÕt vµ kiÓm tra b»ngthùc nghiÖm tÝnh to¸n. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ khi c¶i tiÕn s¬ ®å chiamiÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p.1. Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ∆2u −c∆u + duXÐt bµi to¸n u∆untrong ®ã Ω ∈ R , ∂Ω lµ biªn Lipschitz,=f , c ≥ 0, x ∈ Ω,= g 0,x ∈ ∂Ω,= g1,x ∈ ∂Ω(1)f ⊂ L2 (Ω) , g 0 , g1 lµ c¸c hµm sè cho tr−íc. Bµi to¸n(1) ®−îc gäi lµ bµi to¸n song ®iÒu hoµ tæng qu¸t. Tuú thuéc vµo c¸c hÖ sè c, d chóng ta xÐt haid¹ng bµi to¸n c¬ b¶n:Bµi to¸n biªn thø nhÊt:∆2u −c∆u = f , c ≥ 0, x ∈Ω,= g0,ux ∈∂Ω, ∆ux ∈∂Ω.= g1,(2)∆2u −c∆u +du = f , c ≥ 0, d ≠ 0,x ∈Ω,u= g0,x ∈∂Ω,∆u= g1,x ∈∂Ω.Bµi to¸n biªn thø hai:(3)Trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai víi t− t−ëng x¸c®Þnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p ph©n r bµi to¸n song ®iÒu hoµvÒ hai bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®−a ra ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸nsong ®iÒu hoµ nh− sau: XÐt bµi to¸n (1), chia miÒn Ω = Ω1 ∪ Ω 2 , Ω1 ∩ Ω 2 = ∅ , kÝ hiÖuΓ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω 2 , Γ1 = ∂Ω1 \ Γ, Γ 2 = ∂Ω 2 \ Γ , ui lµ nghiÖm trong miÒn Ωi , ϕi = − dui ,vi = ∆ui (i = 1, 2) , ξ =∂v1∂u1Γ, η =∂ν1∂ν1Γtrong ®ã ν i lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña miÒn Ωi,(H×nh 1)Ω138ΓΩ2Ω1ΓΩ2T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008NghiÖmui cña hai bµi to¸n cÇn ph¶i tho¶ mn c¸c ®iÒu kiÖn chuyÓn dÞch qua biªn Γ nh− sau: u1 ∂u1 ∂ν1 ∆u1∂∆ u1 ∂ν1==== −u2, x ∈ Γ,∂u2, x ∈ Γ,∂ν 2∆u2, x ∈ Γ,−∂∆u2, x ∈ Γ.∂∆ν2(4)NÕu x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ ξ , η trªn ®−êng biªn ph©n chia th× hiÓn nhiªn viÖc gi¶i bµito¸n trong miÒn Ω ®−îc ®−a vÒ viÖc gi¶i hai bµi to¸n trong hai miÒn Ωi (i = 1, 2) . XuÊtph¸t tõ môc ®Ých x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ ξ , η , viÖc t×m nghiÖm bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ thø hai®−îc thùc hiÖn b»ng c¸c thuËt to¸n chia miÒn nh− sau:1.1 Bµi to¸n biªn thø nhÊt(0)B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ ξ = 0, ∀k = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n(k )1.1 Gi¶i bµi to¸n víi v1∆v (k ) −cv (k ) =f , x ∈ Ω1,1 1v1(k ) = g1, x ∈ Γ1,∂v1(k )= ξ (k ), x ∈ Γ.∂ν1(5)(k )1.2 Gi¶i bµi to¸n víi v2∆v2(k ) −cv2(k ) =f , x ∈ Ω2,v2(k ) = g1, x ∈ Γ2,v2(k ) = v1(k ), x ∈ Γ.(6)1.3 HiÖu chØnhξ (k +1) = θ1ξ (k ) − (1 − θ1)KÝ hiÖu nghiÖm thu ®−îc sau b−íc lÆp 1 lµB−íc 2: XuÊt ph¸t tõ η(0)∂v2(k ), x ∈ Γ.∂ν2v1, v2(7).= 0, ∀l = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n39T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008(ℓ)2.1 Gi¶i bµi to¸n víi u1∆u (ℓ) = v , x ∈ Ω ,11 1 (ℓ)= g 0, x ∈ Γ1, u1∂u (ℓ)= η (ℓ), x ∈ Γ. 1 ∂ν1(8)(ℓ)2.2 Gi¶i bµi to¸n víi u2∆u2(ℓ) = v2, x ∈ Ω2, (ℓ)= g 0, x ∈ Γ2, u2 u (ℓ) = u (ℓ), x ∈ Γ.1 2(9)2.3 HiÖu chØnhη(ℓ+1) = θ2η(ℓ) −(1 − θ2)∂u2(ℓ), x ∈ Γ.∂ν2(10)XÐt s¬ ®å chia miÒn (5)-(10) chóng ta dÔ thÊy r»ng ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm trong (4)lu«n lu«n tho¶ mn cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm trong (4) sÏ tho¶ mn nÕu c¸c s¬ då lÆp(7) vµ (10) héi tô. Sö dông c¸c kÕt qu¶ khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸nelliptic cÊp hai, trong [1,2] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp (7) vµ (10) héi tô.1.2. Bµi to¸n biªn thø hai(0)(0)B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ ϕ1 = ϕ2 = 0, ∀k = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n(0)B−íc 1.1: XuÊt ph¸t tõ ξ = 0, ∀l = 0,1, 2,...(ℓ)1.1.1 Gi¶i bµi to¸n víi v1∆ v ℓ − cv (ℓ )1 1v 1( ℓ ) ∂ v ( ℓ)1∂ν1=f + ϕ1(k ),x ∈ Ω 1,=g 1,x ∈ Γ 1,=ξ (ℓ ),x ∈ Γ.(11)(ℓ)1.1.2 Gi¶i bµi to¸n víi v2∆ v 2(ℓ) − cv 2(ℓ)v 2(ℓ)v 2(ℓ)40=f + ϕ 2(k ), x ∈ Ω 2,=g 1,x ∈ Γ 2,=v 1(ℓ),x ∈ Γ.(12)T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 20081.1.3 HiÖu chØnhξ (ℓ+1) = θ1ξ (ℓ) −(1 − θ1)(ℓ)∂v2(ℓ), x ∈Γ∂ν2.(13)(ℓ)KÝ hiÖu v1 , v2 lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.1B−íc 1.2: §Æt η(0)= 0, ∀m = 0,1, 2,...(m )1.2.1 Gi¶i bµi to¸n víi u1∆ u (m ) 1 (m ) u1 ∂ u (m ) 1 ∂ ν 1=v 1(k ),x ∈ Ω 1,=g 0,x ∈ Γ 1,=η (m ),x ∈ Γ.=v 2(k ),x ∈ Ω 2,=g 0,x ∈ Γ 2,=u 1(m ),x ∈ Γ.(14)(m )1.2.2 Gi¶i bµi to¸n víi u2∆ u 2(m ) (m ) u2 u (m ) 21.2.3 HiÖu chØnhη(m +1) = θ2η(m) −(1 − θ2)(15)(m )2∂u, x ∈ Γ.∂ν2(16)(k )(k )KÝ hiÖu u1 , u2 lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.2B−íc 2: HiÖu chØnhϕ1(k +1) = ϕ1(k ) − τ1(ϕ1(k ) + du1(k )), x ∈ Ω1,ϕ2(k +1) = ϕ2(k ) − τ2(ϕ2(k ) + du2(k )), x ∈ Ω2.(17)XÐt s¬ ®å lÆp (11)-(13) vµ (14)-(16), ®©y chÝnh lµ c¸c s¬ ®å lÆp ®éc lËp gi¶i c¸c bµi to¸nbiªn elliptic cÊp hai víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet b»ng ph−¬ng ph¸p chia miÒn, sù héi tô vµ thamsè lÆp tèi −u ® ®−îc kh¼ng ®Þnh trong [1,2]. c¸c s¬ ®å lÆp (17) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ngϕi(k +1) − ϕi(k )+ (ϕi(k ) + dui(k)) = 0, x ∈ Ωi, (i = 1,2)τi.(18)Trong [3] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp héi tô.NhËn xÐt: Khi nghiªn cøu c¸c s¬ ®å lÆp (5)-(10) gi¶i bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ s¬ ®å (11)-(17)gi¶i bµi to¸n biªn thø hai, chóng ta nhËn thÊy viÖc thiÕt kÕ c¸c s¬ ®å lÆp trong thuËt to¸n chia41T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ thùc chÊt lµ vi ...