KÍ THUẬT CM BĐT TÌM GTLN VÀ GTNN

Tham khảo tài liệu kí thuật cm bđt tìm gtln và gtnn, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
KÍ THUẬT CM BĐT TÌM GTLN VÀ GTNN www.VNMATH.com CÁC K THU T CƠ B N ð CH NH MINH B T ð NG TH C VÀ TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH ð I H C, CAO ð NG, L P CHUYÊN, L P CH N Cao Minh Quang1, THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com ***** B t ñ ng th c và bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t là nh ng d ng toán khó không ch trong các kì thi h c sinh gi i các c pmà còn thư ng hay xu t hi n trong các kì tuy n sinh ñ i h c, tuy n sinh vào l p chuyên, l p ch n. Bài vi t này xin nêu m t s k thu t cơ b n ñ ch ng minh b t ñ ng th c và tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.1. S d ng k thu t ch n “ñi m rơi” c a b t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy). B t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy) v n r t quen thu c v i h c sinh ph thông và có r t nhi u ng d ng. Ph n này xintrình bày cách s d ng k thu t ch n “ñi m rơi” (giá tr c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c) c a b t ñ ng th c AM – GM trong vi cch ng minh b t ñ ng th c. Trư c h t, xin nêu l i b t ñ ng th c AM – GM Cho n s th c không âm a1 , a2 ,..., an . Khi ñó a1 + a2 + ... + an n a1 + a2 + ... + an ≥ a1a2 ...an hay a1a2 ...an ≤ n n n ð ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = ... = an . Ta thư ng áp d ng b t ñ ng th c AM – GM khi n = 2,3, 4 . Ngoài ra, s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta còn thu ñư c các k t ququan tr ng sau: Cho a, b, c là các s th c dương, khi ñó (1) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca hay a + b + c ≥ ab + bc + ca . ( ) 2 (2) (a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 hay a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) . 1 3 (3) (a + b)( 1 + 1 ) ≥ 4 hay ≤ 1 (1 + 1). 1 a +b 4a a b b (4) (a + b + c )( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 hay ≤ 9 (1 + 1 + 1) . 1 1 a +b +c a b c a b c Vi c xác ñ nh ñi u ki n c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c trong bài toán b t ñ ng th c r t quan tr ng, nó s giúp ta r t nhi u trongvi c ñ nh hư ng cách gi i. ð s d ng k thu t này ta c n k t h p thêm k thu t nh sau ñây: A × B = A.1.1...1 = A. A = 3 A.3 A.3 A , ñ t o ra các bi u th c m i K thu t thêm b t: A = A + B − B = hai v c a b t ñ ng Bth c mà ta có th ñánh giá ñư c. K thu t ñ i bi n: M t s bài toán có ch a căn th c, phân th c thì ta có th ñ i bi n ñ d nh n th y các m i quan h c a các ñ ilư ng, t ñó ta có ñ nh hư ng cho l i gi i. Ch ng h n nh ng phép th ñơn gi n như x := a , x := 1 ,… a Sau ñây là m t s ví d . Ví d ñ u tiên là m t b t ñ ng th c h t s c ñơn gi n. 11 ( ) Bài toán 1. Cho x, y > 0 . Ch ng minh r ng x 2 + y 2 + + ≥ 2 x+ y . xy Phân tích l i gi i. Nh n th y r ng, v trái c a b t ñ ng th c có ch a ñơn th c và phân th c, v ph i có ch a căn th c (b c hai), và d 1 1th y ñ ng th c x y ra khi x = y = 1 . Do ñó, ta s dùng b t ñ ng th c AM – GM cho hai s x 2 và , y 2 và . y ...