Kiểm tra cấu trúc ( G,* )

Bài 1: kiểm tra cấu trúc ( G,* ) có là nửa nhóm,vị nhóm hay nhóm không, và xét tính giao hoán của chúng.Trường hợp ( G,*) là nhóm, hãy mô tả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm này. a) G=Q{-6},x*y = 90xy+540x+540y+3234 = 90(x+6)(y+6)-6. • Tính kết hợp: (x*y) *z = (90(x+6)(y+6)-6) *z = 90(90(x+6)(y+6)-6+6)(z+6)-6 (1) = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 x*(y*z) = x*(90(y+6)(z+6)-6) = 90(x+6)( 90(y+6)(z+6)-6+6)-6 = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 (2) từ (1) và (2) suy ra ( G,* ) có tính kết hợp ( G,* ) là nửa nhóm. • Phần tử trung hòa của trên G: x*e=e*x=x ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kiểm tra cấu trúc ( G,* ) Nhóm 1Bài 1:kiểm tra cấu trúc ( G,* ) có là nửa nhóm,vị nhóm hay nhóm không, và xét tính giao hoáncủa chúng.Trường hợp ( G,*) là nhóm, hãy mô tả các phần tử có cấp hữu hạn của nhómnày.a) G=Q{-6},x*y = 90xy+540x+540y+3234 = 90(x+6)(y+6)-6. • Tính kết hợp: (x*y) *z = (90(x+6)(y+6)-6) *z = 90(90(x+6)(y+6)-6+6)(z+6)-6 = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 (1) x*(y*z) = x*(90(y+6)(z+6)-6) = 90(x+6)( 90(y+6)(z+6)-6+6)-6 = 902(x+6)(y+6)(z+6)-6 (2) từ (1) và (2) suy ra ( G,* ) có tính kết hợp ( G,* ) là nửa nhóm. • Phần tử trung hòa của trên G: x*e=e*x=x 90(x+6)(e+6)-6 = 90(e+6)(x+6)-6 = x 90(x+6)(e+6) = 90(e+6)(x+6) = x+6 1 e = -6 ∈ Q{-6 } 90 1 ( G,* ) là nửa nhóm có phần tử trung trung hòa e = -6 ∈ Q{-6} 90 suy ra ( G,* ) là vị nhóm. • Phần tử x-1 của x: x*x-1 = x-1*x = e hay 1 90(x+6)(x-1+6)-6 = 90(x-1+6)(x+6)-6 = -6 90 1 x-1 = − 6 ∈ Q{-6 } 90 ( x + 6) 2 suy ra ( G,* ) là nhóm • Do tính giao hoán của phép nhân trong Q ta có x*y = y*x = 90(x+6)(y+6)-6 suy ra ( G,* ) là nhóm giao hoán. • Cấp hữu hạn của phần tử x trong (G,*) : Với k ∈ N* bằng quy nạp ta chứng minh được xk = 90k-1 (x+6)k – 6 1 90k-1 (x+6)k – 6 = -6 90 [90(x+6)]k = 1 90(x+6) = 1 hoặc 90(x+6) = -1 vaø k =2 (do k ∈ N*,xk = e) 1 1 1 x= - 6 (=e) hoaëc x = - - 6 vaø caáp cuûa x laø 2 90 90Câu b cm tương tự.c) G = R, x*y = (xn+yn)1/n, trong đó n là số nguyên dương lẻ cho trước. • Tính kết hợp: (x*y)*z = (xn+yn)1/n*z = (xn+yn+zn)1/n x*(y*z) = x*(yn+zn)1/n = (xn+yn+zn)1/n suy ra (G,*) có tính kết hợp nên (G,*) là nửa nhóm. • Phần tử trung hòa của trên G: x*e=e*x=x (x +e ) = (en+xn)1/n = x n n 1/n xn+en = xn en =0 e = 0 ∈ R (do n là số nguyên dương cho trước) suy ra ( G,* ) là vị nhóm. • Phần tử x-1 của x: x*x-1 = x-1*x = e hay (xn+x-n)1/n = e x-n = e- xn = - xn x-1 = -x suy ra ( G,* ) là nhóm • Tính giao hoán : x*y = (xn+yn)1/n = (yn+xn)1/n = y*x vậy (G,*) là nhóm giao hoán (nhóm abel) +)Cấp hữu hạn của phần tử x trong (G,*) : Với k ∈ N* bằng quy nạp ta chứng minh được xk = 2(k-1)/nx = 0 Suy ra x = 0 vậy (G,*) không có phần tử có cấp hữu hạn.Các câu d,e cm tương tự.f) G = R x R*,(x,y) * (z,t) = (x+yz,yt). • Tính kết hợp: ((x,y) * (z,t)) * (p,q) = (x+yz,yt) * (p,q) = (x+yz+ytp,ytq) (1) (x,y) * ((z,t) * (p,q)) = (x,y) * (z+tp,tq) = (x+y(z+tp),ytq) = (x+yz+ytp,ytq) (2) 2 từ (1) và (2) suy ra ( G,* ) có tính kết hợp ( G,* ) là nửa nhóm. • Phần tử trung hòa của trên G: t*e=e*t=t với t = (x,y), e = (x0,y0) (x,y) * (x0,y0) = (x0,y0) * (x,y) = (x,y) (x+yx0,yy0) = (x0+y0x,y0y) = (x,y) x+y0x = x0+y0x = x và yy0 = y0y = y chọn y # 0 e = (x,1) suy ra phần tử e không duy nhất Vậy (G,*) không có phần tử trung hòa nên không là vị nhóm. +) Do (G,*) không là vị nhóm nên không có phần tử khả nghịch • Tính giao hoán : (x,y) * (z,t) = (x+yz,yt) (z,t) * (x,y) = (z+tx,ty) (x,y) * (z,t) # (z,t) * (x,y), • (G,*) không có tính giao hoán. • Do (G,*) không có phần tử trung hòa nên không tồn tại phần tử có cấp hữu hạn.g) G = R x R*,(x,y) * (z,t) = (xz-yt,xt+yz). • Tính kết hợp: ((x,y) * (z,t)) * (p,q) = (xz-yt,xt+yz) * (p,q) = ((xz-yt)p- (xt+yz)q, (xz-yt)q+(xt+yz)p) = (xzp-ytp-xtq-yzq, ...