KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN

Câu 3 (5 điểm)Cho tứ giác lồi ABCD.a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuônggóc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của a và BC,b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt làtâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác Ithì OI vuông góc với CD....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
.KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2011 MÔN: TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (4 điểm) ( x − 1)(2 2 y − 1 + 3 3 x + 6) = 2 y + 6 Giải hệ phương trình: x 3 − 2 y 3 − xy ( x + y ) − 2 y + x = 0Câu 2 (5 điểm) x1 = 4 Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: xn +1 = xn − 2, ∀n � * 2 Ν x n +1 Tìm lim x x ....x 1 2 nCâu 3 (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuônggóc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần l ượt là giao đi ểm c ủa a và BC,b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I l ần l ượt làtâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Ch ứng minh r ằng n ếu O khác Ithì OI vuông góc với CD.Câu 4 (3 điểm) Cho 2 số nguyên dương m, n thoả mãn m > n và m + n là số chẵn. Chứng minhrằng các nghiệm của phương trình: x 2 − (m2 − m + 1)( x − n 2 − 1) − (n 2 + 1)2 = 0 đều là cácsố nguyên nhưng không là số chính phương.Câu 5 (3 điểm) Trong mặt phẳng cho 26 điểm đôi một phân biệt nằm trong một tam giácđều cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong số 26 điểm đã cho t ồn t ại 2 đi ểm màkhoảng cách giữa chúng không lớn hơn 0,2. ----------------------- HẾT -----------------------Họ và tên thí sinh................................ Số báo danh.............................................Họ tên, chữ kí giám thị số 1:............... Họ tên, chữ ký giám thị số 2:..................