Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

Tham khảo tài liệu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cô-si, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si Ch n đi m rơi trong B t Đ ng Th c Cô-SiTrong khi h c Bàn v ki n th c v m ng b t đ ng th c thì b t đ ng th c Cô-Si là m t trong nh ng b t đ ngth c cơ b n nh t .Tuy nhiên trong khi gi i bài t p đ dùng đư c b t đ ng th c này m t cách linh ho t hơn thì taph i dùng đ n m t phương pháp g i là phương pháp ch n đi m rơi trong b t đ ng th c Cô-Si.Khi áp d ng bđt côsi trong các bài toán tìm c c tr thì vi c l a ch n tham s đ t i đó d u = x y ra là đi u quan tr ngvà khó khăn nh t. Đôi lúc trong các bài toán khi các bi n b gi i h n b i m t đi u ki n nào đó thì khi áp d ng tr c ti ps d n đ n nhi u sai l m. Vì th trong chuyên m c nh này tôi mu n trình bày nh ng phương pháp c th đ b n có thtìm đư c tham s phù h p.Bài toán 1: Cho các s dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá tr nh nh t:a.b.c.d.Gi i:a.Bài này khá đơn gi n ch c b n nào cũng đ u bi t nó. Tuy nhiên dùng bài này minh h a cho vi c l a ch n tham stheo mình là phù h p nh t.Vì vai trò các bi n x,y,z là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra t i x=y=z=1/3. Nên ta có như sau: (d u = x y ra khi )Như v y ta áp d ng như sau: c ng d n l i r i suy ra.b. Như bài trên mình đã nói lên m t ý tư ng là thêm vào các bi t s ph như ch ng h n. Và phương pháp thêm nàynói chung r t hi u qu và tri t đ cho các bài toán d ng này.Ta th y vai trò c a x,y là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra x=y. Ta c n ch n các bi t s ph sao: (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi )Và m c đích c a các bi t s ph sao cho khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z. Nên ta có suy ra: (*)Đ ng th i v i các đi u ki n d u b ng và (*) các b n s tìm đư c các bi t s ph như ý mu n.c.Đ th y thêm s hi u qu thì câu c đi u ki n các tham s đó kô ràng bu c. Ta ch n các bi t s ph sao cho: (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i )Và m c đích c a các bi t s ph khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+zV y ta suy ra d dàng: (*)Đ ng th i v i d u = x y ra và đk (*) b n có th tìm đư c bi t s .d.Sang câu d đây là m t d ng t ng quát c a bài toán này. Tuy nhiên khi gi i mà làm theo các bư c trên thì th t là khóch i và m t th i gian nhi u. Nay mình xin nói thêm đây là m t cách r t hay ch c n 1 hay 2 dòng là ra các bi t s phli n. Tuy nhiên các b n ph i hi u rõ các cách trên vì đây ch là m t cách suy ra t pp trên mà thôi. như v y b n ch c n rút x,y,z theo r i th vào đi u ki n là có th ra đư c đi m rơi.Ngoài ra v i bài toán trên nó kô ch gi i h n m c đ nh đó đâu mà nó còn nâng lên b c cao m,n,k c a x,y,z b t kìc ng v i đi u ki n có th t ng quát hơn: . Mà cách gi i v n không m y thay đ i (tuy nhiên đ u làs nguyên)Bài toán 2: Cho x,y,z là các s dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá tr l n nh t:a.b.c.d.Gi i:Nh ng bài này chúng ta cũng s và có chung m t hương đi gi i quy t đó:a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các s s tìm đư c)Ta có: d u = x y ra khi:Suy ra:Và m c đích c a các bi t s này là có th đưa v d ng xy+yz+zx. Nên khi đó:Như v y ta đư c h phương trình sau:abd=cefa+b=1c+d=1e+f=2H trên 6 phương trình tương ng v i 6 n s các b n hoàn toàn có th gi i đư c có đi u hơi dài. Tuy nhiên trongtrư ng h p bài toán a,b,c chúng ta th y r ng các bi n x,y có tính đ i x ng nay nên vi c phân tích s đơn gi n hơn thnày a=c, b=d, e=f. Như v y thì đơn gi n hơn đúng không?Còn trư ng h p bài cu i cùng khá t ng quát thì vi c gi i nó s khó khăn đôi chút. Nhưng có m t phương pháp r thay và m i:Xét bi u th c:V iNhư v y ta đư c h phương trình b c 3 theo trong đó là nghi m dương nh nh t. T đây b n có th tính rasuy ra giá tr nh nh t c a bi u th c mà kô c n ph i gi i a,b,c,d,e,f.Bài toán 3: Cho x,y,z là các s dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá tr l n nh t c a:V i các d ng bài này thì phương pháp cũng tương t nhau nên dành cho các b n v y! Xem như đây là m t bài luy nt pNgoài ra đôi lúc trong vi c tìm c c tr c a bài toán không ph i là ta nhìn đã th y đư c đó là đi m rơi trong côsi mà nócòn k t h p v i phương pháp khác như đ ng nh t th c, đ o hàm, v.v... Và chính đi u này nó làm tăng thêm ph n hayvà đ p c a đi m rơi trong Cô-Si.Qua bài vi t này mong các b n s hi u rõ hơn v b t đ ng th c Cô-Si. K thu t ch n đi m rơi trong các bài toán BĐT và c c trTh i gian qua mình đã nh n đư c nhi u yêu c u c a các b n hư ng d n cách làm bài t p v BĐT và c c tr .Đây cũnglà m ng ki n th c sâu r ng và tương đ i khó.Bài vi t này s hư ng d n các b n nh ng hư ng suy nghĩ và gi i quy tcác bài t p d ng này thông qua PP ch n đi m rơi-t ...