Kỷ yếu Olympic Toán học sinh viên lần thứ 21

Olympic Toán học Sinh viên toàn quốc lần thứ 21 năm nay sẽ được tổ chức tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng từ ngày 08 -14/04/2013 với khoảng 90 trường đại học, cao đẳng cả nước cử khoảng 800 sinh viên tham dự hai môn thi Đại số và Giải tích. Tài liệu "Kỷ yếu Ôlympic Toán học sinh viên lần thứ XXI" tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỷ yếu Olympic Toán học sinh viên lần thứ 21 K y uà N ng, 04/2013M cl c ôi nét v i h c Duy Tân iWI thi d tuy n n m 2013 11 is 3 1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ma tr n - nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 H ph ng trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 a th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Gi i tích 17 2.1 Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phép tính vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Phép tính tích phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . 25II thi chính th c n m 2013 273 thi 29 3.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 áp án 33 4.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii Ph n Ithi d tuy n n m 2013 1 1 Ch ng 1 is1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tínhBài 1 (C Tuyên Quang). Cho V là m t không gian véc t trên tr ngK. Gi s u1 , u2 , ..., un là m t h véc - t c l p tuy n tính c a V , aij œK, 1 Æ j Æ i Æ n. Ch ng minh h véct : v1 = a11 u1 , v2 = a21 u1 + a22 u2 , v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 , ... vn = an1 u1 + an2 u2 + . . . ann unlà c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 ...ann ”= 0.Bài 2 ( H Khoa h c Hu ). Cho f : V ≠æ W là m t ánh x tuy n tínhc a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng: 1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t không gian con r-chi u thì dim f (A) = k ≠ r. 2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t không gian con s-chi u thì dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ).Bài 3 ( H Khoa h c Hu ). Cho V = F[x] và f là m t t ng c u c a Vxác nh b i f (P ) = xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f . 31 isBài 4 ( H Khoa h c Hu ). Cho A là m t ma tr n th c vuông c p n vàÏA , ÂA là các t ng c u tuy n tính c a không gian vecto th c M (n, R)các ma tr n th c vuông c p n xác nh b i: ÏA (X) = AX ≠ XA, ÂA (X) = AX.Ch ng minh r ng det(ÏA ) = 0 và det(ÂA ) = (det A)n .1.2 Ma tr n - nh th cBài 5 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 4 s th c a, b, c, d tùy ˝. Ch ngminh r ng - - - - -1 a a2 a4 -- -1 a a2 a3 -- - - -1 b b2 b4 -- -1 b b2 b3 -- - - - - = (a + b + c + d) - -. -1 c c2 c4 -- -1 c c2 c3 -- - - -1 d d2 d4- -1 d d2 d3 -Bài 6 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho W là t p các ma tr n vuông c p3 có các ph n t ch nh n giá tr ±1. Tìm s các ma tr n trong W có nhth c d ng.Bài 7 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ),aij œ Z, trong ó aij l v i i ”= j và aii ch n (1 Æ i, j Æ n). Ch ng minhr ng: det(A) ”= 0.Bài 8 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) vàaij œYK, 1 Æ i, j Æ n, K là m t tr ng. Ch ng minh r ng: A2 = 0 khi và ch ]rank(A) Æ 1,khi . [trace(A) = 0Bài 9 (C Tuyên Quang). Tính nh th c - - - x - 1 0 0 ... 0 0 -- -n ≠ 1 2 0 0 0 -- - x ... - - - 0 n≠2 x 3 ... 0 0 -- ...