Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 05

Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 05 sẽ giúp các em có thêm kiến thức để đạt được điểm cao hơn trong kì thi Đại học sắp tới. Chúc các em thi thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 05DIỄN ĐÀN MATH.VNhttp://math.vnLỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 05Bảng biến thiên x −∞ y + −3 0 3x→+∞x→−∞−1 − 0 +y −∞ −1 Điểm cực đại (−3; 3), điểm cực tiểu (−1; −1).Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm (của 2 tiếp tuyến đó với (C)) cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OB = 2011.OA Lời giải: Đối với đồ thị hàm số bậc 3 thì mỗi tiếp tuyến ta có một và chỉ một tiếp điểm tương ứng . Và hoành độ tiếp điểm x của tiếp tuyến dạng y = kx + m với (C) là nghiệm PT f (x) = k ⇔ 3x2 + 12x + 9 − k = 0 (1) Để tồn tại hai tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau có cùng hệ số góc k thì cần và đủ là (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 (2) Khi đó toạ độ các tiếp điểm (x; y) của 2 tiếp tuyến với (C) là nghiệm HPT  y = 1 x + 2 (3x2 + 12x + 9) − 2x − 3 3 + 6x2 + 9x + 3 y=x 3 3 ⇔  2 3x2 + 12x + 9 = k 3x + 12x + 9 = k   2k − 9 k−6 y = k 1 x + 2 − 2x − 3  x+ y= 3 3 ⇔ ⇔ 3 3  2 3x2 + 12x + 9 = k 3x + 12x + 9 = k 2k − 9 k−6 x+ . Suy ra toạ độ các tiếp điểm cùng thoả mãn PT y = 3 3 2k − 9 k−6 x+ Vậy đường thẳng qua các tiếp điểm là d : y = 3 3 Do d cắt Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OB = 2011.OA nên có thể xảy ra các trường hợp sau : 9 +) Nếu A ≡ O thì B ≡ O, TH này được thoả mãn nếu và chỉ nếu d qua O ⇔ k = 2 OB +) Nếu A ≡ O, khi đó trong tam giác vuông OAB cho tan OAB = = 2011 mà tan OAB bằng hoặc bằng OA k−6 với đối của hệ số góc của d , tức là ta có = ±2011 ⇔ k = 6039; k = −6027, 3 đối chiếu với (2) , ta được kết quả của TH này là : k = 6039 9 Tóm lại các giá trị cần tìm của k là k = và k = 6039 2 1htt p://m ath .v+∞1Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x3 + 6x2 + 9x + 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Lời giải: Hàm số y = x3 + 6x2 + 9x + 3 có TXĐ là D = R Đồ thị giao với trục tung tại điểm B(0; 3) y = 3x2 + 12x + 9 = 3(x + 1)(x + 3) Đồ thị giao với đường thẳng: y = −1 x = −1 ⇒ y = −1 Nên y = 0 ⇔ tại hai điểm (−4; −1), (−1; −1) x = −3 ⇒ y = 3 Đồ thị y > 0 ⇔ −∞ < x < −3 hoặc −1 < x < +∞ ⇒ hàm số đồng biến trên (−∞; −3) ; (−1; +∞) y < 0 ⇔ −3 < x < −1 ⇒ 3 hàm số nghịch biến trên (−3; −1). Giới hạn lim y = +∞; lim y = −∞. 2+∞−4−3−2n−1 −1 −2htt p:/+) Xét tích phân J = Do đó J = −−1 3 −1Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— 2 − sin2 x 1 x Giải phương trình : = tan2 cos 2x + 4 cos x + 3 2 2 Lời giải: x ĐK: cos = 0; cos 2x + 4 cos x + 3 = 0. Với đk ấy pt tương đương: 2 1 + cos2 x 1 − cos x 1 + cos2 x 1 − cos x = ⇔ = 2 x + 2 cos x + 1) 2 2(cos 2(1 + cos x) (cos x + 1) 1 + cos x 2 x = (1 − cos x)(1 + cos x) ⇔ 1 + cos2 x = 1 − cos2 x ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π + kπ (thoả) ⇔ 1 + cos 2 π Vậy pt có họ nghiệm là x = + kπ 2 Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— x3 + 2y2 = x2 y + 2xy Giải hệ phương trình : (x, y ∈ R) 2 x2 − 2y − 1 + 3 y3 − 14 = x − 2 Lời giải: ĐKXĐ của HPT là x2 − 2y − 1 ≥ 0 (1) PT đầu của hệ được viết lại là x(x2 − 2y) − y(x2 − 2y) = 0 ⇔ (x − y)(x2 − 2y) = 0 ⇔ x = y (do (1) nên x2 − 2y ≥ 1 > 0) √ √ 3 Thay vào PT thứ 2 của hệ ta được : 14 − x3 = 2 x2 − 2x − 1 + 2 − x (2) Đối với PT (2) √ có 2 cách giải quyết√ ta : 3 +) Cách 1: Do x2 − 2x − 1 ≥ 0 nên 14 − x3 ≥ 2 − x ⇔ 14 − x3 ≥ 8 − 12x + 6x2 √ x3 ⇔ x2 − 2x − 1 ≤ 0 − √ Mặt khác khi x = y thì (1) cho ta x2 − 2x − 1 ≥ 0 . Do đó x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2. Vậy x = y = 1 ± 2 thoả mãn HPT đã cho và đó là 2 nghiệm của HPT ban đầu. √ +) Cách 2: Đặt u = 2 − x , v = x2 − 2x − 1(v ≥ 0) , ta có u3 − 6v2 = 14 − x3 . Khi đó (2) có dạng : √ 3 3 u − 6v2 = u + 2v ⇔ u3 − 6v2 = (u + 2v)3 ⇔ v[v2 + 3(u + v)2 + 3v] = 0 ⇔ v = 0 ; u = v = 0 (do v ≥ 0) √ √ • v = 0 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2. Do vậy x = y = 1 ± 2 (thoả mãn (1)) 2−x = 0 . Hệ này vô nghiệm. •u=v=0⇔ 2 x − 2x − 1 = 0 √ Tóm lại HPT đầu có 2 nghiệm là x = y = 1 ± 2 Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— 3 πx 2010 Tính tích phân I = (x2 − 2x − 2 x − 1)2011 + 2012 sin4 dx 2 −1 Lời giải: Cách 1: 3 3 πx πx [(x − 1)3 − 3(x − 1)]2010 (x − 1) sin4 dx + 2012 I= sin4 dx = (I1 ) + (I2 ) 2 2 −1 −1 Đặt x − 1 = t ⇒ dx = dt; x = −1 ⇒ t = −2; x = 3 ⇒ t = 2 2 πt Vậy Ta thấy I1 = (t 3 − 3t)2010t cos4 dt 2 −2 3 − 3t)2010t cos4 π t là hàm lẻ ⇒ I = 0 mà f (t) = (t 1 2 2 2 2 πt πt Nhiệm vụ bây giờ chỉ tính I2 = 2012 cos4 dt = 4024 cos4 dt = 1006 (1 + cos π t)2 dt 2 2 −2 0 0 Mà cái tích phân này khai triển ra rồi hạ bậc là xong. Kết quả là 3018 Cách 2: 3 3 πx 2010 Ta có I = (x2 − 2x − 2 x − 1)2011 dx + 2012 sin4 dx 2 −1 −1 Đặt x = 2 − t ta có dx = −dt và : x = −1 ⇒ t = 3; x = 3 ⇒ t = −13(x2 − 2x − 2((2 − t)2 − 2(2 − t) − 2/m ath .v2010x − 1)2011 dx20102 − t − 1)2011 dt = 23 −1(−t 2 + 2t + 2n20101 − t)2011 dt3=−Ta có J = 20123 −11 − cos π x 2−123dx = 503htt p:/√ a a ...