Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 07

Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 07 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong những kì thi quan trọng sắp tới nhé.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 07http://www.math.vnCâu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 6)x + m − 2 (m là tham số). Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 9 Lời giải: Đồ thị10Hàm số y = x3 − 3x2 + 3x + 7 = (x − 1)3 + 8 Bảng biến thiênCâu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 3 11 ; đến đường thẳng đi qua hai Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A 2 4 điểm cực trị lớn nhất. Lời giải: Hàm số có đạo hàm: y = 3x2 − 6x + m − 6 Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 có 2 cực trị khi: y = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt: ⇔ ∆ = 32 − 3(m − 6) > 0 ⇔ m < 9 1 2 1 4m Ta có : y = y + x− m−6 x+ −4 3 3 3 3 vì điểm cực trị có hoàng độ là nghiệm của y = 0 nên đường thẳng (d) qua 2 cực trị có pt là: 4m 2 m−6 x+ − 4 ⇔ (2m − 18)x − 3y + 4m − 12 = 0 ⇔ 2kx − 3y + 4k + 24 = 0 với k = m − 9 < 0 y= 3 3 11 3 2k − 3 + 4k + 24 7 |4k + 9| 2 4 √ = √ > 0 nên 4k + 9 = 0 Khoảng cách từ A đến d là : l = 4 4k2 + 9 4k2 + 9 (4k + 9)2 72(4k + 9)(k − 4) Xét f (k) = ⇒ f (k) = 2+9 4k 4k2 + 9 Suy ra không tồn tại k để f (k) đạt giá trị lớn nhất. Do đó không tồn tại m để khoảng cách từ A đến d lớn nhất. Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ Giải phương trình 4 sin2 x + tan x + 2(1 + tan x) sin 3x = 1 Lời giải: √ PT ⇔ 4 sin2 x − 2 + 1 + tan x + 2 sin√ + tan x) = 0 3x(1 ⇔ 2 sin2 x − 2 cos2 x + (1 + tan x)(1 + √ sin 3x) = 0 2 2 x − sin2 x) + (1 + tan x)(1 + 2 sin 3x) = 0 ⇔ −2(cos √ 1 + 2 sin 3x =0 ⇔ −2(cos x − sin x)(cos x + sin x) + (cos x + sin x) cos x √ 1 + 2 sin 3x =0 ⇔ (cos x + sin x) −2 cos x + 2 sin x + cos x TH 1. cos x + sin x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −π + kπ 4 1htt p:/ /w ww. ma th. vn8 6 4 2 −2 2DIỄN ĐÀN MATH.VNLỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 07htt p:/ /w w2Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =√ ASB = ASC = BSC = α nội tiếp trong mặt cầu bán kính bằng R, SC, 8 3 3 R . Tính α biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 27 Lời giải: Gọi M là trung điểm của SA; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Đặt x = SA, a = AB, r = OA. Ta có tam √ ABC đều. giác √ √ α 3 α 3 2 √ 2 2α 2 2 3 1 a = 2x sin , r = · a= x sin , SABC = a = 3x sin , SI · SO = SM · SA = x2 , 2 3 2 3 2 4 2 2 4 2α x2 , SO2 = SA2 − OA2 , ⇒ x2 = 4R2 1 − sin ; ⇒ SO = 2R 3 2 √ 1 8 3 3 4 α 2 2α VSABC = SO · SABC = R 1 − sin2 sin 3 3 3 2 2 √ 2 α α 1 α α 1 8 3 3 4 4 Vậy VSABC = R ⇔ 1 − sin2 sin2 = ⇔ 1 − sin2 · sin = 27 3 2 2 9 3 2 2 3 3α π π 4π ⇔ sin = 1 ⇔ α = + k . Vậy α = . 2 3 3 3 Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— a2 − 1 b2 − 1 c2 − 1 + + = 0. Cho các số thức a, b, c thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c và a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b2011 + c2012 Lời giải: Từ giả thiết ta có a ≤1 và c ≥ 1 a2 − 1 1 b2 − 1 c2 − 1 + =− ≥ 0 ⇔ (b + c)(1 − ) ≥ 0 ⇒ bc ≥ 1. (1) khi đó b c a bc √ 1 c2 − 1 1 1 a2 − 1 b2 − 1 1 Lại có =− + − 1 ≥ 2 ab( − 1) = = + − (a + b)= (a + b) c a b a b ab ab √ √ √ 1 1 1 1 ab 1+ ≥ 0 ⇒ c ≥ √ ⇒ abc2 ≥ 1. (2) = 2 √ − ab ≥ √ − ab ⇒ c − √ c ab ab ab ab √ 3 2011 c2010 = 3 3 abc2 (bc)2010 ≥ 3. Kết hợp (1), (2) và Theo BĐT AM-GM ta có P ≥ 3 ab Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy min P = 3. Câu VIa. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và hai đường thẳng d1 : mx + y − m − 1 = 0, d2 : x − my + m − 1 = 0. Tìm m để mỗi đường thẳng d1 , d2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho bốn giao điểm đó tạo thành một tứ giác có diện tích lớn nhất. Lời giải:w. ma th. vn√ √ 1 + 2 sin 3x = 0 ⇔ −2 cos2 x + sin 2x + 1 + 2 sin 3x = 0 TH 2. −2 cos x + 2 sin x + cos x √ π π ⇔ cos 2x − sin 2x = 2 sin 3x ⇔ sin( π − 2x) = sin 3x ⇔ x = 20 + k2π hay x = 34 + k2π 4 5 Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ √ 2 x + y2 + y + 3 − 3 y = x + 2 √ Giải hệ phương trình y3 + y2 − 3y − 5 = 3x − 3 3 x + 2 Lời giải: √ √ Ta có: 2 x + y2 + y + 3 ≥ (1 + 3)(x + 2 + 3y) ≥ x + 2 + 3 y Đẳng thức xảy ra khi x = −1; y = 1. Thay vào phương trình dưới, thấy thỏa mãn. Đáp số: (x; y) = (−1; 1). Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— 3 ln(3 + x2 ) dx Tính tích phân I= 1 x(4 − x) − 2 Lời giải:htt p:/ /w w3(4m2 + 3)(3m2 + 4) (4m2 + 3) + (3m2 + 4) 1 ≤ =7 Nên SABCD = AB ·CD = 2 R2 − h2 · R2 − h2 = 2 1 2 2 m2 + 1 m2 + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = ±1. Cách 2: Rõ ràng d1 và d2 đi qua P(1; 1) nằm trong đường tròn với mọi m nên mỗi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. − − −− Vectơ pháp tuyến của d1 và d2 lần lượt là → = (m; 1) và → = (1; −m) ⇒ →→ = 0 ⇒ d1 ⊥ d2 . n1 n2 n1 n2 Gọi A,C và B, D lần lượt là các giao điểm của d1 , d2 với đường tròn (C), H, K lần lượt là hình chiếu của tâm I(1; 2) trên d1 và d2 thì √ 1 1√ 2 AC .BD2 = 2 (R2 − IH 2 )(R2 − IK 2 ) = 2 R4 − R2 .IP2 + IH 2 .IK 2 ≤ SABCD = AC.BD = 2 2 2 IH 2 + IK 2 2 ≤ 2 R4 − R2 .IP2 + = (2R2 − IP2 ) = 2R2 − IP2 = 7 (Do IH 2 + IK 2 = IP2 ) 2 √ √ 2 = 1 ⇔ m = ±1 Đẳng ...