Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 08

Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 08 giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 08http://www.math.vnCâu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1, (Cm ) (m là tham số). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Lời giải: Đồ thị3 2 1Hàm số y = x4 − 4x2 + 3 Bảng biến thiênhtt p:/ /w w1Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B,C, D lần lượt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 , (x1 < x2 < x3 < x4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4, với K(3; −2). Lời giải: x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 (1). Đặt t = x2 ,t ≥ 0, ta được t 2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2) Để  thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt t > 0 đồ  ∆ = (m + 1)2 − (2m + 1) > 0  m = 0 ⇔ S = 2(m + 1) > 0 ⇔ (∗) Với đk (∗) thì đồ thị hàm số cắt trục hoành 1  m > −  P = 2m + 1 > 0 2 √ √ √ √ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự − t1 , − t2 , t2 , t1 , với t1 > t2 √ √ √ 1 Theo gt: SACK = AC.|yk | = 4 ⇔ AC = t2 + t1 = 4 ⇔ t1 + t2 + 2 t1t2 = 16 2 Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình (2) ta được: √ √ m−7 ≤ 0 2(m + 1) + 2 2m + 1 = 16 ⇔ m − 7 = − 2m + 1 ⇔ ⇔m=4 m2 − 16m + 48 = 0 Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— 1 π 1 − 2x = 4 sin x − 1 − . sin Giải phương trình: 2− sin x 6 2 sin x Lời giải: π Điều kiện: sin x = 0. PT ⇔ (4 sin x − 2) sin − 2x = 8 sin2 x − 2 sin x − 1 6 2 sin x − 1 = 0 (1) π π − 2x = (2 sin x − 1)(4 sin x + 1) ⇔ ⇔ 2(2 sin x − 1) sin 2 sin − 2x = 4 sin x + 1 (2) 6 6 π 1 5π (1) ⇔ sin x = ⇔ x = + k2π hoặc x = + k2π 2√ 6 6 √ √ (2) ⇔ cos 2x − 3 sin 2x = 4 sin x + 1 ⇔ 4 sin x + 2 sin2 x + 2 3 sin x cos x = 0 ⇔ sin x + 3 cos x = −2 π 7π + k2π = −1 ⇔ x = ⇔ cos x − 6 6 Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— (x − 2)(2y − 1) = x3 + 20y − 28 . Giải hệ phương trình: √ 2( x + 2y + y) = x2 + x Lời giải:w. ma th. vn−2 −1 1 2 −1DIỄN ĐÀN MATH.VNLỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 08htt p:/ /w w2x+2 ≤ 0 thay vào phương trình thứ nhất ta được pt bậc 2 theo x 2y = x2 + x + 1 Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— π 2 5 cos x − 4 sin x dx Tính tích phân I= 7 0 (sin x + cos x) Lời giải: π 2 5 sin x − 4 cos x π dx Đặt x = − t ta được I = 7 2 0 (sin x + cos x) π π π 2 5 cos x − 4 sin x 2 5 sin x − 4 cos x 2 dx Suy ra 2I = dx + dx = 7 7 6 0 (sin x + cos x) 0 (sin x + cos x) 0 (sin x + cos x) π π π 2 π 1 2 1 2 dx = d tan x − = 1 + tan2 x − 6 π 8 0 8 0 4 4 cos x − 4 π π π π 1 2 = + tan4 x − d tan x − 1 + 2 tan2 x − 8 0 4 4 4 π 2 2 1 1 π π π 7 tan x − + tan3 x − + tan5 x − = = 8 4 3 4 5 4 15 0 7 Vậy I = 30 Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Trên các đoạn AD , BD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho √ AM = DN = x, (0 < x < a 2). Tìm x để MN là đoạn vuông góc chung của AD và BD. Lời giải: Gọi hình vẽ TH2: Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— a2 + b2 + c2 . Cho 3 số a, b, c ∈ [0; 2] thoả mãn : a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của M = ab + bc + ca Lời giải: Cách 1: a2 + b2 + c2 9 +M = = − 2 Vì thế ta chỉ cần tìm min của A = ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 3 +ab + bc + ca = −a2 + 3a + bc = f (a), f (a) = 0 ⇔ a = 2 Với a ∈ [0, 2] thì −a2 + 3a + bc đạt min khi a = 0 hoặc a = 2 + Với a = 0 ⇒ b + c = 3, A = bc = b(3 − b) = −b2 + 3b khi đó bε [1, 2], f (1) = 2, f (2) = 2 ⇒ A ≥ 2 +Với a = 2 A = 2 + bc, b + c = 1 ⇒ A = 2 + b(1 − b) = −b2 + b + 2 = f (b) 5 9 b ∈ [0, 1] mà f (0) = f (1) = 2 ⇒ A ≥ 2 ⇒ M ≤ − 2 = 2 2 Dấu = đạt được khi a, b, c là các hoán vị của (0, 1, 2) Cách 2: Ta có: (a − 2)(b − 2)(c − 2) ≤ 0 ⇔ abc − 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) − 8 ≤ 0 abc + 4(a + b + c) − 8 12 − 8 ≥ =2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 2 2 9 9 5 A= −2 ≤ −2 = ab + bc + ca 2 2 Dấu = xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị√ x + 2y = −x − 2 ⇔w. ma th. vn√ √ PT √ hai của hệ ⇔ x + 2y + 2 x + 2y + 1 = x2 + 2x + 1 ⇔ ( x + 2y + 1) = (x + 1)2 thứ √ ⇔ x + 2y = x hoặc x + 2y = −x − 2 √ x≥0 TH 1: x + 2y = x ⇔ thay vào phương trình thứ nhất ta được 13x2 − 11x − 30 = 0 2y = x2 − xhtt p:/ /w w3Câu VIIa. (1 điểm) ———————————————————————————————— z+i = 1. Tìm các số phức z thoả mãn điều kiện: |z + 3i − 2| = 4 Cho số phức z sao cho: z − 3i Lời giải: Cách 1: Đặt z = a + bi với a; b ∈ R; (z = 3i). Ta có: z+i |z + i| = 1 ⇔ |z + i|2 = |z − 3i|2 ⇔ a2 + (b + 1)2 = a2 + (b − 3)2 ⇔ b + 1 = ±(b − 3) ⇔ b = 1 = z − 3i |z − 3i| Vì điều kiện: |z + 3i − 2| = 4 ⇔ |z + 3i − 2|2 = 16 ⇔ (a − 2)2 + 42 = 16 ⇔ a = 2 Vậy z = 2 + i (thoả) Cách 2: Gọi A, B, M, I biểu diễn ba số phức z, −i, 3i, 2 − 3i trên mặt phẳng phức. −1 + 3 Khi ấy A, B thuộc trục ảo và MA = MB nên M nằm trên trung trực AB ⇒ yM = = 1. 2 Mặt khác IM = 4 nên M thuộc đường tròn (I; 4). Do khoảng cách từ I đến đường thằng (d) : y = 1 bằng 4 nên (d) tiếp xúc với (I) tại M. Suy ra IM Oy hay xM = xI = 2. Kết luận M(2; 1) hay z = 2 + i là số cần tìm. Câu VIb. 1) (1 điểm) ——————————————— ...