Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 13

Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 13 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong kỳ thi sắp tới
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 13DI N ĐÀN MATH.VNhttp://www.math.vnL I GI I Đ THI TH Đ I H C 2011 Môn thi : Toán Đ s : 13Câu I. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— x và đi m A(−1; 1). Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . Cho hàm s y = 1−x L i gi i: Đ th y x có t p xác đ nh D = R{1}. Hàm s y = 1−x 1 Đ o hàm y = (−x + 1)2 y > 0, ∀x ∈ D 1 2 Hàm s đ ng bi n trên (−∞; 1); (1; +∞) x lim y = +∞; lim y = −∞ x→1+ x→1− -1 x = 1 là phương trình ti m c n d c y = −1 là phương trình ti m c n ngang B ng bi n thiên Đ th qua g c t a đ O(0; 0)x→−∞lim y = −1,x→+∞lim y = −1-2Câu I. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Tìm m đ đư ng th ng y = mx − m − 1 c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N sao cho AM 2 + AN 2 đ t giá tr nh nh t. L i gi i: Cách 1: x Xét phương trình tương giao: = mx − m − 1 ⇔ mx2 − 2mx + m + 1 = 0 (∗) 1−x Đ c t t i 2 đi m thì pt (∗) ph i có 2 nghi m phân bi t khác 1: m − 2m + m + 1 = 0 ⇔m 0 Đ ý th y:Trung đi m c a MN là I và I(1; −1) c đ nh − − → − → → S d ng chèn đi m ta có : AM 2 + AN 2 = 2AI 2 + IM 2 + IN 2 (Do IM + IN = 0 ) Ta có AI c đ nh , IM = IN, nên bi u th c đó min khi và ch khi MN min 4 L i tính MN: NM 2 = (x1 − x2 )2 (1 + m2 ) = (x1 + x2 )2 − 4x1 .x2 (m2 + 1) = −4m − m 2 = 4t + 4 ≥ 8 Do m < 0 nên đ t t = −m và t > 0, MN t V y m = −1 Cách 2: Câu II. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— √ 1 − 2 1 − x 2 + 1 − 2 1 − y2 = m Tìm m đ h phương trình sau có nghi m x 2 + y2 + x − 1 − y2 = 1 L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu II. 2) (1 đi m) ————————————————————————————————1Gi i phương trình√√ L i gi i: √ 3 sin 2x(1 + 2 cos x) + cos 3x = 1 ⇔ 2 3 sin x. cos x(1 + 2 cos x) = cos x − cos 3x + 2 cos2 x + cos x 2 cos x + 2 cos2 √ x √ ⇔ cos x(1 + 2 cos x)(2 3 sin x − 1) = 4 sin2 x. cos x ⇔ (2 cos x + 1)(2 3√ x − 1) = 4 sin2 x sin √ √ √ 3 3 1 1 3 3 sin 2x + cos 2x + ( ) sin x − cos x = ⇔ 3 sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x = ⇔ 2 2 2 2 2 4 π 3 3 ⇔ cos( ). cos 2x + sin( π ). sin 2x − sin( π ). cos x + cos( π ). sin x = ⇔ cos(2x − π ) + sin(x − π ) = 3 6 6 3 6 3 4 4 3 1 2 π π π π ⇔ cos 2(x − 6 ) + sin(x + 6 ) = ⇔ −2sin (x − 6 ) + sin(x − 6 ) + = 0 4 4  √ √ √ 7π π 1− 3 1− 3 1− 3 π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin  sin(x − 6 ) =  4 6 4 6 4  √ √ √ ⇔ 1+ 3 1+ 3 1+ 3 π 7π  π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin sin(x − 6 ) = 4 6 4 6 4 Câu III. (1 đi m) ———————————————————————————————— √ 3 0 x + ex − e3x Tính tích phân: I = dx. e3x − ln 3 L i gi i: √ 3 x 0 0 e − e3x x dx + dx = I1 + I2 Ta có: I = 3x e3x − ln 3 − ln 3 e 0 x e−3x Tính I1 = dx: Đ t u = x ⇒ du = dx và dv = e−3x dx ⇒ v = 3x −3 − ln 3 e 0 −3x −3x 0 26 e xe dx = −9 ln 3 + + ⇒ I1 = −3 9 − ln 3 3 − ln 3 Tính I2 =033 sin 2x(1 + 2 cos x) + cos 3x = 1. 1 + 2 cos x + cos 2x1 − e2x 1 · 2x dx e2x e − ln 3 − ln 3 1 0 −1 1 −2 Đ t u = 2x − 1 ⇒ du = 2x dx; Nên I2 = u 3 du = 6 e e 8 2 80 V y I = −9 ln 3 + 9 Câu IV. (1 đi m) ———————————————————————————————— Cho hình lăng tr đ u ABC.A B C có t t c các c nh đ u b ng a .G i M là trung đi m c a c nh BB . Tính th tích kh i t di n B ACM và bán kính m t c u ngo i ti p lăng tr ABC.A B C . L i gi i: G i hình v031 − e2x dx = e8xCâu V. (1 đi m) ———————————————————————————————— √ √ √ √ Cho các s th c dương a, b, c th a mãn a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≤ 3 2 . 1 1 1 Ch ng minh r ng √ a +√ c +√ ≥1. b+1 8 +1 8 +1 8 L i gi i: √ √ √ √ 3 2 ≥ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c)2 ⇒ a + b + c ≤ 3 Đ t (2x)3 = 8a , (2y)3 = 8b , (2z)3 = 8c ⇒ (2x)3 .(2y)3 .(2z)3 = 8a+b+c ≤ 83 ⇒ xyz ≤ 1 4x2 + 2 Ta có (2x)3 + 1 = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) ≤ 4221 + (2x)3 1 1 1 + 2 + 2 VT ≥ 2 2x + 1 2y + 1 2z + 1 1 1 1 L i đ t m = 2 , n = 2 , p = 2 ⇒ mnp ≥ 1 x y z n p m + + ≥ 1 ⇔ 2mnp + 2(mn + np + pm) ≥ 8 Ta s ch ng minh m+2 n+2 p+2 Th t v y b t đ ng th c cu i đúng do AM-GM và s d ng mnp ≥ 1 Câu VIa. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— √ Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC v i đư ng cao AH có phương trình x = 3 3 , phương trình √ √ √ hai đư ng phân giác trong góc ABC và ACB l n lư t là x − 3y = 0 và x + 3y − 6 3 = 0 . Bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác ABC b ng 3. Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC bi t đ nh A có hoành đ dương. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIa. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong không gian v i h t a đ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(−1; −2; 0),C(−1; 1; −3) , m t ph ng (P) : 2x + y − x−2 y−3 z−4 2 = 0 và đư ng th ng ∆ : = = . Vi t phương trình m t c u (S) đi qua A có tâm I thu c m t 1 −1 −1 ph ng (P) sao cho IB vuông góc v i đư ng th ng ∆ và m t c u (S) c t (ABC) theo m t đư ng tròn có bán kính nh nh t. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIIa. (1 đi m) ———————————————————————————————— Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai đi u ki n: |z| = |z + 4 − 3i| và bi u th c A = |z + 1 − i| + |z − 2 + 3i| có giá tr nh nh t. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIb. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đư ng tròn (C1 ) : (x − 1)2 + y2 = 2 và ...