Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

Luận án "Về các radical của các PI-đại số" trình bày về các nội dung: các kiến thức căn bản, ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal và modun, các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc, một số định lý quan trọng như định lý về trù mật; xem xét các radical của các PI-đại số. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại sốBỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠOĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINHTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMKHOA TOÁNNINH QUANG THẮNGVỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐLUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐMÀ SỐ 1.01.03THÁNG 02 NĂM 1998BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠOĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMKHOA TOÁNNINH QUANG THẮNGVỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐLUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐMÃ SỐ 1.01.03NGƢỜI HƢỚNG DẪN:PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍTHÁNG 02 NĂM 1998LỜI MỞ ĐẦUNgười ta thường xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó.Các điều kiện này thường được thể hiện bởi các hệ thức và đòi hỏi chúng luônluôn đúng. Chẳng hạn:Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A được gọi là đại sốgiao hoán.Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a∀a∈ A được gọi là đại số Boolean.Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c∈ A được gọi là đại số Lie…..Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trêncác đại số và xét đến các PI- đại số xem như các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nàođó.Khi xét đến các PI đại số, vấn đề được quan tâm chủ yếu trong luận án nàv làcác radical. Chúng ta không chỉ xét đến các radical Tacobson mà còn định nghĩa vàxem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đạisố.Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại sốvới một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú vàdễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt được những kết quả cho một PI đại sốtổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa.Vì PI đại số được xem như đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quảvề các radical của nó không chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu cáctính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PIđại số cho thấy rằng có thể tiến hành đa tuyến tính hóa chúng, đưa về việc xét các đồngnhất thức chuẩn tắc.Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên cácPl-đại số cũng như việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể như : đại số các ma trận vuôngtrêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán . . . .v.v đã dẫn đến các kếtquả trình bày trong bản luận án này.Luận án được chia thành hai phần:Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngoài các khái niệm về các loại đại số, idealvà modun được dùng đến ưong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức(identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng như định lý về trùmật được trình bày mà không chứng minh. Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong[1].Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trìnhbày theo tuần tự như sau:A. Các radical của một đại số.B. Các PI-dại số.C. Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại sốgiao hoán chỉ là một trường hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số đượcbắt đầu với việc xét trường hợp riêng này. Kết quả được chúng tối lưu tâm tới để tiến hànhtổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại sốgiao hoán là trùng nhauD. Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki sẽ cho phép đa tuyến tính hóa các đồng nhất thức của các PI đại số. Đâylà một trong những phương pháp được chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kếtquá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ.E. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Việc xét các radicalcủa các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa mộtbước những kết quả đã đạt được về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ đểtiếp tục tổng quát hóa.F. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có được trong các phầntrên, cuối cùng chúng ta chứng minh được rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nilradical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôntrùng với radical Jacobson. Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn còn cốgắng trình bày một số trường hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng làtrùng nhau. ...