Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về một số hướng mở rộng của định lý Wedderburn

Luận án trình bày về các nội dung: cơ sở lý luận của các vành không giao hoán, định lý Wedderburn và một số hướng mở rộng cổ điển từ định lý ấy, các điều kiện được xét như là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa, khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản về siêu tâm. Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về một số hướng mở rộng của định lý WedderburnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMKHOA TOÁNHUỲNH HUY VIỆTVỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNGCỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURNLUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐMÃ SỐ 1.01.03THÁNG 12 NĂM 1997BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMKHOA TOÁNHUỲNH HUY VIỆTVỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNGCỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURNLUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐMÃ SỐ 1.01.03THÁNG 12 NĂM 1997BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠOĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMKHOA TOÁNHUỲNH HUY VIỆTVỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNGCỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURNLUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌCGIÁO SƢ HƢỚNG DẪN : PGS. PTS BÙI TƢỜNGTRÍ CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐMÃ SỐ 1.01.02THÁNG 12 NĂM 1997LỜI NÓI ĐẦUVào năm 1905, Wedderburn J.H.M. đã chứng minh một định lý nổi tiếng: “Mọi thể hữuhạn là một trường” (A theorem on finite algebbras, Trans, Amer. Math. Soc. 6 (1905) 349 –352). Sau kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học lớn trên thế giới đã phát triển và mở rộngđịnh lý ấy theo nhiều hướng. Một trong những người có công lớn có thể kể đến là Z.N.Herstein, C.Taith, Rowen…, trong đó đặc biệt phải kể đến khái niệm: SIÊU TÂM(HYPERCENTER) của Z.N Herstein được trình bày vào năm 1975.Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các hướng mở rộng đó vàchứng minh lại một số vấn đề mà tác giả bỏ qua không chứng minh, đồng thời đưa ra một số thídụ và phản thí dụ để làm sáng tỏ hướng mở rộng đó. Luận văn một mặt sẽ trình bày lại toàn bộkết quả của Herstein với phép chứng minh đầy đủ, tiến hành chứng minh chi tiết một số vấn đềmà Herstein đã bỏ qua (được in nghiêng trong luận văn), đồng thời nêu ra một số thí dụ và phảnthí dụ, để thấy rõ ý nghĩa của sự mở rộng siêu tâm so với khái niệm tâm của một vành.Luận văn được chia làm ba phần:Phần I: Trình bày cơ sở lý luận của các vành không giao hoán.Các khái niệm cơ bản và lý thuyết cơ bản để chuẩn bị cho phần II và phần III như:Radiacal Jacobson của một vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, vành nguyên tố,… các mốiliên hệ giữa chúng.Phần II: Trình bày định lý Wedderburn và một số hướng mở rộng cổ điển từ định l ýấy, các điều kiện được xét như là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa. Trong phần nàyta đặc biệt chú ý đến các kỹ thuật chứng minh – cách đặt vấn đề - cách phân tích vấn đề và từngbước giải quyết vấn đề: đi từ hẹp đến mở rộng dần.Phần III. Trình bày khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bảnvề siêu tâm. Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Ở đây Herstein đã định nghĩasiêu tâm và đã chứng minh được một số kết quả: ―Trong điều kiện nào thì siêu tâm sẽ trùng vớitâm của một vành?‖ Ông đã đi đết kết quả cuối cùng : ―Trong một vành không có nil-ideal ta sẽcó siêu tâm trung với tâm‖Trong vấn dề này, tôi có xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng : ―Trong một vành nil thìkhái niệm siêu tâm thực sự khác với khái niệm tâm‖ Thí dụ cũng đã làm sáng tỏ vấn đề: ―Kháiniệm siêu tâm là mở rộng thực sự khái niệm tâm‖ mà tôi chưa tìm thấy được chứng minh củaHerstein.Luận văn được hoàn thành phần lớn là nhờ sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầyhướng dẫn của quý thầy Bùi Xuân Hải, Mỵ Vinh Quang và sự tạo điều kiện hết lòng của quýthầy cô Phòng nghiên cứu khoa học, cũng như Ban chủ nhiệm khoa Toán Trường Đại học sưphạm Tp. Hồ Chí Minh. Nhân đây tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy BùiTường Trí và quý thầy cô đã giúp đỡ và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án này, xin cảmơn quý bạn bè gần xa đã có những giây phút động viên quý báu và thiết thực.Do trình độ còn hạn chế, do lần đầu viết một luận án khá lớn, chắc chắn bài viết sẽkhông tránh khỏi thiếu sót. Kính mong được sự hướng dẫn giúp đỡ của quý thầy cô và của cácbạn. ...